Был назван в честь прадеда. Близкие называют Коробова Мо?тей. В США Коробова зовут Мэтт (англ. Matt). Начинал заниматься боксом под руководством отца. До 14 лет тренировался в Оротуканской детско-юношеской спортивной школе под руководством заслуженного тренера России Виктора Шиканова. С 14 лет тренировался в школе ЦСКА под руководством Нагима Хуснутдинова, 7 лет жил у тренера дома.
На Олимпийских играх 2008 года в Пекине 25-летний Коробов считался одним из главных фаворитов на золото в своей весовой категории до 75 кг. В первом круге Коробов уверенно победил шведского боксёра (18-6), но уже во втором круге уступил олимпийскому чемпиону 2004 года Бахтияру Артаеву из Казахстана (7-10). Сам Артаев в следующем бою проиграл будущему олимпийскому чемпиону британцу Джеймсу Дегейлу (3-8). Тренер Коробова Нагим Хуснутдинов, которого не было на Играх в Пекине, после Олимпиады в интервью заявил, что на последних сборах перед играми тренеры сборной России сделали из двукратного чемпиона мира Коробова «урода», испортив тому стойку. Коробов в своём блоге весной 2009 года также отметил, что отсутствие тренера и недочёты в подготовке повлияли на то, что он проиграл в Пекине Артаеву.
Сразу после неудачи на пекинской Олимпиаде Коробов перешёл в профессионалы, подписав в сентябре 2008 года контракт с промоутерской компанией Top Rank. Уже 1 ноября 2008 года провёл свой первый профессиональный бой, выиграв у мексиканца Марио Евангелисты. В 2008 году выиграл ещё один бой, а в 2009 году провёл 7 боев и все выиграл. В США сначала тренировался под руководством Дэна Бирмингема, с мая по сентябрь 2009 года работал с Джоном Рояло, до сентября 2010 года с Кенни Адамсом, в настоящее время (апрель 2011) - с Майком Маккаллумом.
Жена — Анна, родом из Краснодарского края. Родители Коробова живут в США с конца 1990-х.