Пеллегрино был важнейшей частью аргентинского клуба «Велес Сарсфилд», когда команда смогла добиться величайших успехов в своей истории, трижды выиграв чемпионат Клаусуры, один раз — чемпионат Апертуры и взяв пять международных трофеев, в числе которых Кубок и Суперкубок Либертадорес.
В 1999 году Маурисио перешёл в «Валенсию», с которой выиграл два титула чемпиона Испании, взял в 2004 году Кубок УЕФА и два года подряд играл в финале Лиги чемпионов. К сожалению для Пеллегрино, этот турнир так и не покорился ему — в финале 2001 года именно он не забил решающий одиннадцатиметровый в серии послематчевых пенальти, и титул достался мюнхенской «Баварии».
В 2005 году 33-летний Пеллегрино покинул «Валенсию», не найдя общего языка с новым тренером клуба Клаудио Раньери и перешёл в «Ливерпуль», который тренировал его бывший наставник Рафаэль Бенитес, подписав контракт на шесть месяцев. Однако в новой команде возрастной защитник закрепиться не смог и отправился заканчивать карьеру в испанский «Алавес».
После завершения карьеры игрока Маурисио вошёл в тренерский штаб «Валенсии», где он стал тренером юношеской команды. В июне 2008 Рафаэль Бенитес в интервью официальному сайту «Ливерпуля» сообщил, что Пеллегрино возвращается в Мерсисайд, чтобы занять пост тренера первой команды клуба.