Родился 17 ноября 1954 года в семье военнослужащего. Окончил Иркутское пожарно-техническое училище. Работал инспектором, заместителем начальника пожарной части, помощником начальника штаба пожаротушения Хабаровского края. Окончил Институт планирования народного хозяйства
С 1987 года заместитель начальника госпожнадзора Переславля-Залесского, позднее заместитель начальника милиции. С 1990 года депутат городского совета и его председатель. В 1994—1996 годах заместитель директора ЗАО «ЛИТ».
В марте 1996 года избран мэром города Переславля. В 1999 году защитил кандидатскую диссертацию в форме научного доклада по теме: «Актуальные проблемы экономической психологии малого города: На примере г. Переславль-Залесский Ярославской области», кандидат экономических наук. В марте 2000 года избран мэром во второй раз, в 2004 — в третий раз.
Во время работы мэром оформил себе инвалидность. Газета сообщает, что при этом он был совершенно здоров.
Будучи мэром, Е. А. Мельник злоупотребил должностными полномочиями и приобрёл за бесценок земельные участки в центре Переславля, а затем продал их. Цена первого участка составила около 600 тысяч рублей, второго около 340 тысяч рублей, третий участок принёс 70—80 тысяч. Обвинение по трём эпизодам было передано в Ярославский областной суд.
Судья Переславского районного суда Евгений Яшин рассмотрел это обвинение и обнаружил два факта. Их подробное описание занимает тринадцать томов уголовного дела.
В конце января 2000 года Е. А. Мельник, нарушив закон, перевёл земельный участок площадью 2450 кв. метров из государственной собственности в земельный фонд Переславля. Из переведённого земельного участка он по собственной воле выделил участок площадью 1200 кв. метров для индивидуального жилищного строительства. Этот участок был выкуплен за 3768 рублей, а затем Е. А. Мельник реализовал его по рыночной стоимости за 670 тысяч рублей. В результате преступления бюджет города Переславля не получил 670 тысяч рублей.
Получив от государства трёхкомнатную квартиру, Е. А. Мельник представил фальшивую справку о том, что не имеет жилья, и выделил себе земельный участок в 601 квадратный метр в городе Переславле. За этот участок он заплатил городу 6 тысяч рублей. Зарегистрировав землю на своё имя, он продал этот участок частному предпринимателю за 300 тысяч рублей.
28 декабря 2009 года мэр города Переславля был признан виновным в совершении 2 преступлений, предусмотренных статьёй 285-2 Уголовного кодекса РФ. За злоупотребления служебными полномочиями суд осудил его на 3 года в колонии..
В июле 2010 года, отсидев только 8 месяцев, по решению Верховного суда России освобождён условно-досрочно. 29 июля вернулся в Переславль.