Мешади Азизбеков родился в 6 (18) января 1876 года в Баку в доме № 107 по улице Азиатской (ныне улица Аловсата Гулиева) в семье мастера-белокаменщика. Окончив в 1896 году реальное училище в Баку, он приехал в Петербург для поступления в Институт гражданских инженеров. Член РСДРП с 1898 года. В 1908 году он окончил Петербургский технологический институт. Принимал активное участие в революции 1905—1907 годов, был одним из руководителей социал-демократической группы «Гуммет». В 1917 году избран членом Бакинского совета. Во время мартовских событий 1918 года в Баку Азизбеков смог защитить от поджога и разрушения фабрику Г. З. Тагиева.
5 апреля 1917 года Мешади Азизбеков был избран председателем Бюро бакинских мусульманских социалистических партий. 15-20 апреля участник 1-го съезда мусульман Кавказа, а с 23 апреля член бюро коллегии пропагандистов и агитаторов Бакинского комитета РСДРП(б). В Бакинском СНК был губернским комиссаром и заместителем наркома внутренних дел, а с мая 1918 года — также председателем исполкома Совета крестьянских депутатов Бакинского уезда. После падения советской власти в Баку был арестован. Расстрелян английскими интервентами в числе 26 бакинских комиссаров.
14 апреля 1903 года у Мешади Азизбекова родился сын Азиз, ставший впоследствии генерал-майором интендантской службы.
Именем Мешади Азизбекова названы:
Имя революционера носили:
В 1978 году в Ясамальском районе Баку был установлен памятник Азизбекову, сделанный известным азербайджанским скульптором Токай Мамедовым, за который он получил Государственную премию СССР. В апреле 2009 года памятник был демонтирован.