В 1932 году закончил экстерном Казанский университет. В 1937 году в возрасте 26 лет защитил докторскую диссертацию. С 1939 года — профессор математики Казанского университета. Ученик Николая Чеботарёва.
Работал два года в математическом институте при Харьковском университете, где познакомился с великим физиком Л. Д. Ландау. Все годы до смерти Ландау их соединяла дружба, а часто и сотрудничество. Так, в 1956 году Мейман прочел на Всесоюзном математическом съезде доклад от имени коллектива из Меймана, Ландау и Халатникова. Именно эта работа принесла авторам Сталинскую премию.
После войны переехал в Москву, работал в Институте физических проблем, где заведовал математической лабораторией, входившей в теоретический отдел, под руководством Ландау, Институте теоретической и экспериментальной физики АН СССР.
В 1953 году стал лауреатом Сталинской премии по теоретической физике. Внёс вклад в математическую сторону разработки ядерного оружия.
В 1968 году Мейман принял участие в петиционной кампании по делу Александра Гинзбурга, Юрия Галанскова и др.
В 1971 году вышел на пенсию, после чего подал документы на репатриацию в Израиль. В 1975 году Мейману отказали «из соображений секретности». С этого времени Наум Мейман — активный участник еврейского эмиграционного движения. Участвовал в демонстрациях отказников, подписал ряд писем и обращений в защиту движения, в декабре 1976 года был председателем семинара, посвящённого состоянию и перспективам еврейской культуры в СССР.
В 1977 году стал членом Московской Хельсинкской Группы (МХГ). Подписал около 100 документов группы. По инициативе Меймана в 1979 году был выпущен документ № 112 «Дискриминация евреев при поступлении в университеты».
Наряду с работой в МХГ, продолжал активную деятельность в рамках еврейского эмиграционного движения. Принял участие в семинаре физиков-отказников, написал статью «Монумент у Бабьего Яра» о стремлении властей скрыть, что основными жертвами расстрелов в Бабьем Яре были евреи.
За правозащитную деятельность Наум Мейман неоднократно подвергался арестам, обыскам, отключению телефона, допросам.
Несколько лет боролся также за право жены Инны Мейман-Китросской на лечение за рубежом. Она скончалась в феврале 1987 года в Вашингтоне. Мейману не было разрешено принять участие в её похоронах.
В 1988 году Мейман репатриировался в Израиль, где был выбран почётным профессором Тель-Авивского университета, где в 1992 году в связи с восьмидесятилетием была проведена конференция в его честь. Скончался в 2001.
Дочь Ольга Плам живёт в Боулдере, штат Колорадо, США.