Ельяшевич родился в Мюнхене в семье студентов Александра Борисовича Ельяшевича и Екатерины Михайловны Филипченко, приехавших из России в Германию на учебу. В 1925 он поступил на физический факультет Ленинградского университета, после окончания которого в течение года работал в ГОИ под руководством А. Н. Теренина (ученика Д. С. Рождественского). Решив стать теоретиком, в 1931 Ельяшевич перешел в Институт химической физики АН СССР, где влился в группу Я. И. Френкеля. С 1935 работал под руководством В. А. Фока в ГОИ, в 1937 защитил кандидатскую диссертацию, которая вскоре была опубликована в виде монографии. В 1944 Ельяшевич защитил докторскую диссертацию. Со второй половины 1940-х он участвовал в реализации советской ядерной программы. Одновременно в 1946—51 он заведовал кафедрой Ленинградского института точной механики и оптики, в 1952—54 преподавал в Ленинградском педагогическом институте имени Герцена.
В 1956 Ельяшевич был избран академиком АН БССР и переехал в Минск, где возглавил лабораторию Института физики (до 1979). В 1968—77 руководил также кафедрой атомной и молекулярной физики БГУ, преподавал на кафедре ядерной физики БГУ (1977—83), был научным консультантом НИИ прикладных физических проблем при БГУ (1983—90), главным научным сотрудником Института тепло- и массообмена НАНБ (1990—95), а с апреля 1995 — советником при дирекции Института молекулярной и атомной физики НАНБ.
Ельяшевич был одним из организаторов «Журнала прикладной спектроскопии», был заместителем главного редактора, входил в редколлегию журнала «Оптика и спектроскопия», давал научные консультации ряду энциклопедических изданий. Среди его непосредственных учеников 12 докторов наук, в том числе академик НАНБ, члены-корреспонденты НАНБ и РАН.
Научные работы Ельяшевича посвящены спектроскопии, физики плазмы, истории науки. Он получил известность прежде всего за разработку теоретических вопросов молекулярной спектроскопии, предложил новый подход для описания многоатомных молекул. Эти результаты были изложены в классическом труде «Колебания молекул», удостоенном в 1949 Государственной премии СССР. Одновременно Ельяшевич занимался спектроскопией атомов и особенно сложных атомов, в частности редкоземельных. В 1962 им была написана фундаментальная энциклопедическая монография «Атомная и молекулярная спектроскопия», остающаяся важным пособием для нескольких поколений спектроскопистов.
В рамках атомного проекта (1946—49) была осуществлена программа оптических наблюдений советских ядерных испытаний, результаты которой использовались в 1957—62 при проведении высотных взрывов. В 1966 эта работа была удостоена Ленинской премии.
После переезда в Минск Ельяшевич осуществил ряд исследований по спектроскопии плазмы и плазмодинамике, заложив основы белорусской школы физики плазмы. Работы по исследованию свойств плазмы в 1992 были удостоены Государственной премии Республики Беларусь.
Большое значение имеют исследования Ельяшевича по истории физики. Им был осуществлен анализ творчества таких ученых как Максвелл, Нильс Бор, Эйнштейн, изучены вопросы становления квантовой механики и современных представлений о спектрах атомов и молекул.
Сын — Алексей Михайлович Ельяшевич — является физиком-теоретиком, в 1990-е годы также возглавлял Институт биологии и психологии человека в Санкт-Петербурге.
Ельяшевич является автором около 200 научных работ, среди которых: