Родился 8 декабря 1898 года в городе Санкт-Петербург в семье рабочего. С 13 лет начал трудовую деятельность на предприятиях города. Призван в царскую армию на исходе Первой мировой войны. Участвовал в штурме Зимнего дворца в 1917 году. В период Гражданской войны командовал отделением и взводом.
В 1920-е годы М. А. Богданов находился на различных командных и штабных должностях в рядах Красной Армии. Затем поступил на учёбу в военную академию имени М. В. Фрунзе, которую успешно закончил в начале 1930-х годов. После учёбы занимал должности начальника оперативного отдела стрелковой дивизии, начальника штаба дивизии и начальника оперативного отдела штаба стрелкового корпуса. Командовал стрелковой дивизией в Белорусском военном округе.
Во время Гражданской войны в Испании, полковник М. А. Богданов, знающий испанский язык, находился в Испании в качестве военного советника бригады, дивизии, штаба Валенсийского участка фронта , за что в 1938 году был награжден орденом Ленина.
17 мая 1939 командиру 37-й стрелковой дивизии М. А. Богданову присвоено звание комбрига.
В разгар боёв на Халхин-Голе комбриг М. А. Богданов в качестве начальника штаба вошёл в Военный совет 1-й армейской группы, образованной в соответствии с постановлением Главного Военного Совета от 15 июля 1939 года для подготовки контрнаступления советских войск. М. А. Богданов участвовал в разработке плана операции и, по мнению современных исследователей, сыграл ключевую роль в общем окружении и разгроме японских войск. Однако в отличие от других героев Халхин-Гола, не получил никаких наград.
Не был переаттестован после введения генеральских званий в 1940 году и встретил Великую Отечественную войну в звании комбрига.
С 22 декабря 1941 по по 4 января 1943 года — командир 461-й стрелковой дивизии (переформирована в 69-ю стрелковую дивизию).
1 октября 1942 года присвоено звание генерал-майор.
1 января 1943 года на участке дивизии немецкие войска произвели неожиданный артналёт и атаку, взяли пленных, заняли первую траншею, только к полудню советские войска восстановили положение. В результате командиров полков и батальонов лишили наград и званий, командира дивизии М. А. Богданова сняли с должности, в этот же день дивизия была сменена на передовой другой и отведена на 15 километров в тыл.
С 21 марта 1943 по 31 мая 1943 года — командир 127-го гвардейского стрелкового полка 42-й гвардейской стрелковой дивизии.
С 31 мая 1943 по 16 июля 1943 года — заместитель командира 5-й гвардейской воздушно-десантной дивизии. По воспоминаниям И. Г. Попова:
С 5 сентября 1943 по 11 мая 1945 года — командир 8-й гвардейской воздушно-десантной дивизии (переформирована 29 декабря 1944 года в 107-ю гвардейскую стрелковую дивизию).
Богданов М. А. закончил Великую Отечественную войну в должности командира дивизии и звании генерал-майора. 11 мая 1945 года снят с должности командира 107-й гвардейской стрелковой дивизии.
В послевоенный период генерал-майор Богданов М. А. продолжал службу в рядах Вооруженных сил СССР занимая должности: заместителя командира стрелкового корпуса, заместителя командующего военным округом по боевой подготовке, начальника штаба военного округа, начальника военной кафедры Казахского Государственного университета. После выхода в отставку по болезни, проживал в городе Рига. Умер 27 мая 1969 года, похоронен с воинскими почестями в городе Рига.
Именем генерал-майора Богданова М. А. названы улицы в: