Михаил Багдасаров с детства любил животных и c 1958 г. мечтал стать дрессировщиком. В шестнадцать лет он стал униформистом в цирке, где работали знаменитые дрессировщики Маргарита Назарова и Константин Константиновский. За смелость и талант проявленные в обращении с хищниками М. Назарова включила Михаила Багдасарова в свою группу, и в течение девяти лет он работал под её руководством.
С 1973 года начинает выступать с самостоятельной программой. Первый крупный успех пришёл к нему в 1979 году, когда он представил свой новый аттракцион «Давид Сасунский», в котором под музыку из балета Арама Хачатуряна «Спартак» выводил на манеж львов, тигров, пантер, ягуаров, леопардов и пум.
В октябре 1991 года Михаил Багдасаров представил свой новый аттракцион «Тигры-шоу» с 18 уссурийскими тиграми. В нем его главной помощницей выступает его дочь Карина Багдасарова.
С 1994 года в этом шоу принимает участие и сын Михаила Багдасарова Артур Багдасаров. В 1997 году за большие заслуги в области искусства Михаилу было присвоено почетное звание Народного артиста России. В 2003 году звание Заслуженный артист России было присвоено Карине и Артуру Багдасаровым.
В 2006 году во время представления, вышедший из под контроля тигр напал на Артура Багдасарова и нанес ему множественные ранения. Заставить зверя отпустить дрессировщика выстрелами из шумового пистолета смог лишь Михаил Багдасаров. Врачам с трудом удалось спасти жизнь и руку Артура Багдасарова.