М. Д. Александрович родился 10 (23) июля 1914 года в селе Биржи (ныне Берзпилс Балвского края Латвии) в еврейской семье мелких торговцев. В 1920-е годы приобрёл популярность как вундеркинд, в девятилетнем возрасте гастролировал в городах Восточной Европы и в Германии с исполнением еврейских народных песен на идише, романсов и арий на русском и немецком языках и других произведений недетского репертуара, в сопровождении композитора и пианиста О. Д. Строка. Окончил Латвийскую консерваторию, стажировался в Италии у Б. Джильи. В 1930-е годы был кантором синагог в Манчестере, Риге и Каунасе.
С 1940 года — в СССР, камерный певец. В СССР было выпущено семьдесят пластинок тиражом двадцать два миллиона экземпляров.
С 1971 года жил в Израиле, с 1974 года — в США, с 1990 года — в Германии. До конца жизни работал кантором, выступал с сольными концертами на пяти континентах, записывал пластинки и диски. Опубликовал книгу воспоминаний «Я помню…» ("Machlis Publications", Мюнхен, 1985; "Прогресс", Москва, 1992).
Александрович с неизменным успехом у публики и критиков выступал на протяжении 75 лет. Умер 3 июля 2002 года в Мюнхене.