Детские годы провёл в Москве, увлекался искусством, брал уроки рисования у художника Василия Сурикова.
Принял идеи Октябрьской революции, юношей участвовал в Гражданской войне на стороне Советской власти.
В 1920—1921 годах в качестве художника и автора сатирических текстов пришёл работать в «Окна РОСТА» под руководством Владимира Маяковского.
В 1921—1927 годах учился во ВХУТЕМАСе, писал сатирические стихи, а также комические пьесы, в том числе в соавторстве с Виктором Ардовым, Ильёй Ильфом, Евгением Петровым, Валентином Катаевым, Владимиром Массом и Николаем Эрдманом.
В 1933 году, после ареста ОГПУ «за сочинение антисоветских басен» Эрдмана и Масса, был репрессирован и помещён в лагерь в Заполярье.
После освобождения в 1937 году вновь встретился с Эрдманом, вместе с которым на протяжении более чем 30 лет создаёт киносценарии фильмов, получивших заслуженное признание зрителей, главным образом — фильмов-сказок. В съёмках нескольких кинофильмов Вольпин принимал участие в качестве сценариста, автора стихов и текстов песен (в том числе, музыкальных комедий «Волга-Волга» и «Кубанские казаки».
Начало Великой Отечественной войны застало Вольпина в Рязани. Вместе с Эрдманом он добрался до Ставрополя, где оба добровольно вступили в Красную Армию. В январе 1942 года артисты были командированы в Москву и до конца войны служили в Ансамбле песни и пляски при центральном клубе НКВД СССР, где писали пьесы военно-патриотической тематики и сценарии театрализованных представлений, с которыми выступал ансамбль.
В послевоенные годы Вольпин пришёл на киностудию «Союзмультфильм», где в 1948 году был снят первый фильм по его сценарию — «Федя Зайцев», а в 1950-е — начале 1960-х годов — целый ряд работ, в том числе фильм 1955 года «Заколдованный мальчик» по мотивам сказки С. Лагерлёф «Удивительное путешествие Нильса с дикими гусями», фильм для взрослых 1962 года «История одного преступления» и снятый в 1961 году полнометражный научно-фантастический мультипликационный фильм-сказка «Ключ», поучительный сюжет и основной мотив которой — противодействие проявлениям в жизни современного общества мещанства и конформизма — обратили на себя внимание как зрителей, вышедших из детского возраста, так и должностных лиц, впоследствии надолго отправивших ленту «на полку».
С начала 1960-х годов по сценариям Вольпина (в том числе, написанных совместно с Эрдманом) снят ряд художественных фильмов-сказок по мотивам произведений, относящихся к категории мировой классики жанра, лучшим из которых считается вышедший на экраны в 1964 году фильм «Морозко». Последним фильмом сценариста стала снятая в 1986 году «Сказка про влюблённого маляра».
Михаил Вольпин погиб в автомобильной катастрофе. Похоронен на 27 участке Введенского кладбища.