Михаил Михайлович Державин родился 15 июня 1936 года в Москве в семье народного артиста РСФСР, одного из ведущих актёров театра имени Е. Б. Вахтангова Михаила Степановича Державина (1903—1951) и Ираиды Ивановны Державиной (1916—2000).
Михаил Державин рос в доме на улице Вахтангова. В этом доме жили актёры, художники и музыканты, в соседнем подъезде находилось Театральное училище имени Б. В. Щукина. Все жившие в этом доме дети не представляли себе иного мира, кроме театра. Все детские игры сосредотачивались вокруг импровизированных театральных подмостков: дети ставили сказки, придумывали декорации, распределяли роли и сами были и актёрами, и зрителями.
В квартиру Державиных часто наведывались в гости знаменитые вахтанговцы: Рубен Николаевич Симонов, Виктор Григорьевич Кольцов, Анатолий Иосифович Горюнов, Николай Павлович Охлопков, Андрей Львович Абрикосов.
Во время Великой Отечественной войны театр имени Е. Б. Вахтангова был эвакуирован в Омск. Во время эвакуации Михаил посещал все спектакли отца, но особенно ему нравился «Фельдмаршал Кутузов». В пять лет Михаил выучил наизусть монолог М. И. Кутузова, читал его в госпитале перед ранеными.
В 1954 году Михаил поступил в Театральное училище имени Б. В. Щукина, после окончания которого с 1959 года работал в Московском театре имени Ленинского комсомола. В 1965 году перешёл в Театр на Малой Бронной, а с 1968 года и по настоящее время работает в МАТС
Первая жена — Екатерина Райкина, дочь А. И. Райкина (1958—1960)
Вторая жена — Нина Семёновна Будённая (род. 6 сентября 1939), дочь С. М. Будённого (1961—1980). От этого брака — дочь Мария Михайловна Державина (род. 1963) и внуки Пётр и Павел.
Нынешняя супруга — певица, народная артистка России Роксана Бабаян (с 1980).
Ведущий актёр Театра сатиры.