Родился в Москве, сын обрусевшего поляка Дормидонта Быковского (Dormidont Bykowski) — столяра и резчика по дереву — мастера по иконостасам. Получил хорошее по тем временам домашнее образование, с 1816 года — в учениках у Доменико Жилярди. В 1817—1823 — помощник Жилярди на постройках в Кузьминках, Останкине, Гребневе. С помощью Жилярди в 1820-е годы приобрёл собственный круг частных заказчиков (Орловы, Орловы-Давыдовы, Панины; после пожара 1812 года грамотных строителей не хватало). С 1823 года преподавал в Московском дворцовом училище (официально зачислен в штат в 1825); после смерти отца в 1824, чтобы поддержать семью, на время вернулся к отцовскому ремеслу. В 1829 по представлению Жилярди Императорская академия художеств заочно зачислила Быковского в соискатели звания академика (в те времена — начальный ранг квалифицированных архитекторов); академиком он стал в 1831, защитив конкурсный проект и получив право на стажировку в Европе.
Вернувшись в Москву, Быковский принял пост архитектора Приказа общественного призрения, ответственного за больницы, богадельни, аптеки и приюты Москвы; в 1847 также принял должность архитектора Воспитательного дома. Долгое время помощником Быковского работал архитектор В. В. Белокрыльцев. Среди гражданских построек М. Д. Быковского 1830-х — 1840-х годов — знаменитый в будущем дом на Шаболовке, 37, бывший Варваринский сиротский приют. Быковский расширил построенный Жилярди и А. Г. Григорьевым Опекунский совет на Солянке, выстроил несохранившиеся Горихвостовскую богадельню на Калужской площади, Московскую биржу и многие другие здания. Особо была отмечена его работа по благоустройству Воспитательного дома в 1850-х годах. В 1839—1849, параллельно с частными и казёнными проектами, Быковский отреставрировал Чудов и Воскресенский монастыри московского Кремля (оба уничтожены в 1930-е).
В 1830-х годах Быковский продолжал преподавать в училище, а в 1836—1842 — возглавил его. В 1834 выступил с кафедры училища с программной речью «О неосновательности мнения, что архитектура Греческая или Греко-Римская может быть всеобщею и что красота архитектуры основывается на пяти известных чиноположениях» (то есть ордерах классической архитектуры). Взамен приевшегося за годы александровского правления ампира, Быковский предложил строить архитектуру национальную, русскую, ибо «Христианин и язычник, Грек и Скиф не могли иметь одинаковое понятие о вещах». Речь Быковского совпала по времени с призывами Н. В. Гоголя («была архитектура необыкновенная, христианская, национальная для всей Европы — и мы ее оставили, забыли, как будто чужую») и деятельностью К. А. Тона, однако его собственная архитектура существенно отличалась от проектов Тона. Если искусство Тона — цельная идеология славянофильства, то Быковский, «обладая широтой художественных взглядов, стремился к выразительности зодчества, интерпретируя западноевропейскую архитектуру предшествующих периодов, и считал главным со тветствие архитектуры назначению сооружений».
В гражданской архитектуре крупнейшая постройка Быковского — готический ансамбль усадьбы Марфино, принадлежавшей Паниным. Быковский приступил к нему не позже 1832 года, когда были выполнены мост и два готических флигеля (разобраны и выстроены заново в 1940-х годах). Работа над главным домом была завершена только в 1846 году.
С 1843 года Быковский, одновременно завершая Марфино и продолжая работу на городские службы, работает на московские и подмосковные монастыри. В течение одного десятилетия он выполнил заказы шести московских монастырей (Алексеевского, Зачатьевского, Ивановского, Никитского, Покровского и Страстного). Надвратная церковь Страстного монастыря в течение восьмидесяти лет определяла облик Страстной (Пушкинской) площади и Тверской улицы. Церковь Алексеевского монастыря близка к тоновским проектам, но однокупольные храмы Ивановского и Зачатьевского монастыря и церкви Троицы на Грязех представляют собой совершенно иную ветвь русского историзма, не порывающего окончательно с классическими корнями и готикой конца XVIII — начала XIX века. Похоронен на Ваганьковском кладбище.