Из потомственных дворян Саратовской губернии, православный.
Родился в селе Луговое Петровского уезда Саратовской губернии.
Землевладелец (на 1914 год в Саратовской губернии 5000 десятин, в Пензенской — 400 десятин, по другим данным всего 6530 десятин родового и приобретённого в Саратовской, Пензенской и Тверской губерниях).
1868 — окончил юридический факультет императорского Московского университета со степенью кандидата прав и поступил на службу по министерству юстиции. Служил на разных должностях: заместитель прокурора, прокурор, председатель окружного суда в городах Владимире, Москве, Киеве, Пензе.
1894 — старший председатель Одесской судебной палаты.
1899 — сенатор Уголовного кассационного департамента.
Одним из самых громких дел генерал-прокурора Акимова был арест членов Санкт-Петербургского совета рабочих депутатов: Г. С. Хрусталёва-Носаря, Л. Д. Троцкого (Бронштейна), А. Л.Парвуса (Гельфанда) и ещё около 50 человек.
1905 — после отставки С.С.Манухина с поста министра юстиции С.Ю. Витте искал «крепкого профессионала» на его место. Н. В. Самофалов, профессор уголовного права, порекомендовал премьеру Акимова, Иванова и Щербачева. Витте лично был знаком только с Акимовым и после представления Михаила Григорьевича императору он был назначен на пост министра юстиции с 16 декабря, где пробыл до 23 апреля 1906.
1906 — с 24 апреля член Государственного совета с оставлением в звании сенатора.
1907 — 10 апреля назначен на должность председателя Государственного совета (бессменно в нём по 28 июня 1914 года). В этом же году произведён в действительные тайные советники.
1908 — статс-секретарь.
Шурин П.Н.Дурново, который был женат на сестре Акимова Екатерине Григорьевне. Свояк А.Г.Булыгина.
Акимов был женат на Марии Николаевне Деляновой.
Дети в браке:
Похоронен Михаил Григорьевич в фамильном склепе в Сердобском уезде Саратовской губернии (ныне Пензенской области).