М. Г. Мещеряков родился 4 (17) сентября 1910 года в селе Самбек (окраина Таганрога), ныне Ростовской области. Его отец погиб на фронте в 1916 году, оставив вдову с четырьмя маленькими детьми на руках. В 1927—1930 годах Михаил работал шлифовщиком на заводе в Таганроге и одновременно учился на вечернем рабфаке. Окончил физический факультет Ленинградского университета в 1936 году с отличием. В 1936—1939 годах он являлся аспирантом Радиевого института АН СССР, где продолжил работу после. В 1939 году был мобилизован в армию для войны с Финляндией. В этот период прошла защита кандидатской диссертации. В 1940 году по возвращении из армии назначен руководителем циклотронной лаборатории в том же институте, где при его участии был введён в действие циклотрон.
В начале Великой Отечественной войны пошёл в народное ополчение, был ранен в день своего рождения 17 сентября, два месяца оставался в строю, потом дала о себе знать контузия. Зиму 1941—1942 года провёл в госпитале блокадного Ленинграда, из 22 человек в палате выжили двое. В мае 1942 года был демобилизован. В июле 1942 года вернулся в Радиевый институт, находившийся в эвакуации в Казани.
С мая 1946 года по февраль 1947 года Мещеряков был в США представителем от СССР при испытании атомной бомбы летом 1946 года на атолле Бикини в рамках операции «Перекрёстки»:
В 1947—1953 годах он был заместителем директора Лаборатории № 2 АН СССР, которая впоследствии была преобразована в Институт атомной энергии. С 1947 года он являлся научным руководителем работ по проектированию и сооружению в городе Дубна), самого мощного на тот момент синхроциклотрона. Синхроциклотрон на энергию 460 МэВ был запущен к 70-летию И. В. Сталина в декабре 1949 года. В 1948—1956 годах был директором «Гидротехнической лаборатории» АН СССР (Дубна), которая была впоследствии переименована в Институт ядерных проблем АН СССР.
В 1950 году защитил докторскую диссертацию.
В 1953 году был избран членом-корреспондентом АН СССР. Также с 1953 года он являлся профессором МГУ.
В 1956—1966 годах — начальник научного отдела Лаборатории ядерных проблем Объединённого института ядерных исследований (Дубна).
В 1966 году в составе Объединённого института ядерных исследований была образована Лаборатория вычислительной техники и автоматизации, директором лаборатории был назначен М. Г. Мещеряков, а затем с 1988 года занимал пост её почётного директора.
М. Г. Мещеряков был членом Научного совета по использованию вычислительной техники и средств автоматизации в экспериментальной ядерной физике, членом редколлегий журналов «Nuclear Instruments and Methods», «Физика элементарных частиц и атомного ядра».
Являлся членом КПСС с 1940 года.
Основные труды в области ускорителей, физики атомного ядра и элементарных частиц. Совместно с Д. В. Ефремовым и А. Л. Минцем руководил строительством первого в СССР синхроциклотрона на энергию до 680 МэВ. Проведённые им исследования позволили обнаружить резонансные эффекты в нуклон-нуклонных взаимодействиях, установить зависимость спектров ?-мезонов от размеров облучаемых ядер. Ряд работ посвящён проблеме автоматизации физических исследований.
В 2000 году одна из улиц Дубны была названа именем Мещерякова.