М. И. Авербах родился 17 (29) мая 1872 года в городе Мариуполе (ныне Донецкой области Украины) в еврейской семье служащих. Окончил мариупольскую гимназию с серебряной медалью и в 1895 году — Московский университет. Работы М. И. Авербаха посвящены изучению различных рефракций глаза, глазному травматизму, проблемам слепоты, глаукомы, трахомы и др. Он разработал и внедрил в практику ряд новых глазных операций. Руководил кафедрами глазных болезней 2-го Московского медицинского института, Центрального института усовершенствования врачей. Основатель и председатель Общества глазных врачей в Москве. Основатель и первый директор Центрального офтальмологического института им. Гельмгольца (1935 год).
Неоднократно лечил В. И. Ленина. Об Авербахе очень тепло отзывается в своей книге «На ельнинской земле» поэт М. В. Исаковский, лечившийся у него ещё до революции. В годы Великой Отечественной войны М. И. Авербах передал присуждённую ему Сталинскую премию в Фонд обороны:
Умер 29 июля 1944 года. Похоронен на Введенском кладбище в Москве.
Премия имени М. И. Авербаха ежегодно присуждается Российской академией медицинских наук за выдающиеся заслуги в области офтальмологии.
В 1952 году у здания лечебного Института глазных болезней им. Гельмгольца на Садово-Черногрязской улице в Москве М. И. Авербаху установлен памятник (скульптор С. Д. Меркуров).