Начинал как футболист (защитник) в составе сталинградского «Трактора», затем московского «Торпедо» (в составе последнего выиграл Кубок СССР в 1949).
С 1949 — дебютирует в чемпионате СССР по хоккею в команде «Крылья Советов» в тройке с Петром Котовым и Алексеем Гурышевым.
Бычков сразу заявил о себе — хорошая обводка, волевой, стойкий в силовой борьбе. Он не только закрепился в основном составе, но и вошёл в число кандидатов в сборную Москвы (сборной СССР ещё не было). Из футбола Бычков перенес на хоккейную площадку мужество и отвагу в единоборствах.
Одновременно с хоккеем продолжал играть за футбольное «Торпедо» — в 1954 году провёл 21 матч в Чемпионате СССР. Однако уже на следующий год ему, как игроку сборной СССР, в приказном порядке отказали в возможности профессионально играть в футбол.
Всего в чемпионатах СССР по футболу — 159 игр (+3 игры аннулированные), из них 135 за «Торпедо».