Учился в Московской консерватории у Николая Рубинштейна и Сергея Танеева, затем в Петербургской консерватории, которую окончил в 1879 г. Преподавал фортепиано в Воронеже (1879—1888), затем недолгое время в Московской консерватории. В 1890 г. сопровождал своего 11-летнего сына Марка на гастроли в Лондон и в связи с большим успехом (в том числе и финансовым) юного пианиста решил остаться там, перевезя также и двух младших сыновей (четвёртый родился уже в Лондоне). Преподавал в Королевской академии музыки и Гилдхоллской школе музыки. В 1910 г. перебрался с тремя сыновьями (старший, Марк, остался в Лондоне) в Канаду, получил канадское гражданство и открыл частную Консерваторию Гамбурга, в которой преподавал вместе с сыновьями. Учеником Гамбурга был, в частности, Джеральд Мур.