Когда началась Великая Отечественная война, отец ушел на фронт. Мальчик остался с матерью в блокадном городе. Окончил Художественное училище им. В.А. Серова. Профессиональную карьеру начинал как художник текстиля. Член Союза художников. Сегодня его работы хранятся в музейных фондах и собраниях Омска, Тулы, Воронежа, Смоленска, а также в ряде частных коллекций Западной Европы, США, в частности – в музее современного искусства крупнейшего американского коллекционера Нортона Доджа и в музее Чекпоинт Чарли (Берлинская стена). Работы Михаила Звягина, посвященные блокадной теме, есть в Музее хлеба, блокадном музее одной из петербургских школ, в Эрмитаже. В начале сентября 2009 года М.Звягин заявил на ТВ о готовности подарить городу исполненную им бронзовую скульптуру Блокадная Мадонна.