Михаил Франк родился в интеллигентной еврейской семье. Его отец, врач Людвиг Семёнович Франк (1844—1882) — выпускник Московского университета (1872), переселился в Москву из Вильно во время Польского восстания 1863 года, в качестве военного врача участвовал в русско-турецкой войне 1877—1878 годов, будучи удостоенным ордена Станислава и личного дворянства. Родители М. Л. Франка поженились в 1874 году. В 1891 году, через 9 лет после смерти мужа, мать М. Л. Франка — Розалия Моисеевна Россиянская — вторично вышла замуж за аптекаря Василия Ивановича Зака, незадолго до того вернувшегося из десятилетней сибирской ссылки, которую он отбывал за участие в «Народной воле». В детстве М. Л. Франк вместе со старшим братом получил домашнее религиозное образование у своего деда, чаеторговца Моисея Мироновича Россиянского, который был в 60-х годах XIX века одним из основателей еврейской общины в Москве. Впоследствии вся семья переехала в Нижний Новгород, где М. Л. Франк окончил гимназию и при поддержке своей старшей сестры Софьи Людвиговны Животовской в 1899 году продолжил учёбу в Баварской технической школе в Мюнхене.
В 1902 году в Мюнхене Михаил Франк женился на сестре своего гимназического товарища, профессионального революционера, социал-демократа Павла Михайловича Грацианова Елизавете Михайловне, приняв православие. В 1904 году он окончил Мюнхенский политехнический институт с дипломом инженера-машиностроителя и после нескольких лет преподавательской работы в Нижнем Новгороде и Санкт-Петербурге (в том числе на курсах пожарных техников) в 1907 году продолжил изучение математики в Санкт-Петербургском университете (исключён) и в Юрьевском университете (окончил экстерном в 1913 году).
В 1910—1911 годах в серии «Воздухоплавание» вышла его двухтомная «История воздухоплавания и его современное состояние». В 1914—1918 годах работал приват-доцентом в Петроградском политехническом институте, в 1919—1930 годах — в Таврическом университете в Симферополе (с 1927 года — профессор). В 1931—1941 годах был профессором высшей математики в Ленинградском политехническом институте, в 1941—1942 годах — в Математическом институте АН СССР, эвакуированном в Казань. Кандидат физико-математических наук (1937).
М. Л. Франк — автор монографий и справочных пособий «Элементарные приближённые вычисления» (1932), «Номографический справочник по математике, механике, физике и сопротивлению материалов. 109 таблиц номограмм» (1933), «Элементы теории вероятностей» (1933), «Графические методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений» (1933) и других, предложил ряд конструкций математических приборов для интегрирования (полярный планиметр, оптический интегратор).
Сводный брат М. Л. Франка — российско-французский художник, скульптор, сценограф и книжный иллюстратор Леон (Лев Васильевич) Зак (1892—1980), публиковавший стихи под псевдонимами М. Россиянский и Хрисанф, бывший в 1910-х годах одним из идеологов движения эгофутуристов.