Принял участие (совместно с Л. А. Зильбером и другими) в изучении этиологии весенне-летнего энцефалита и открытии вызывающего его вируса клещевого энцефалита. Организовал массовое производство, провёл клинические испытания и внедрил вакцину против полиомиелита, разработанную американским учёным Альбертом Сэйбином.
Чумаков окончил в 1931 году медицинский факультет Московского государственного университета который был затем преобразован в Московскую медицинскую академию имени И. М. Сеченова.
В 1937 году Чумаков принял участие в научной экспедиции в Хабаровский край организованной Львом Александровичем Зильбером. Совместно с другими участниками экспедиции Чумаков исследовал природу вновь открытого инфекционного неврологического заболевания названного клещевым энцефалитом, и впервые выделил вызывающий его вирус. В результате случайного заражения вирусом Чумаков заболел клещевым энцефалитом и потерял слух и подвижность правой руки. За это открытие Чумаков и группа других учёных в 1941 году были удостоены Сталинской премии первой степени.
В 1948 году Михаил Петрович был избран членом-корреспондентом, а в 1960 году действительным членом Академии медицинских наук СССР. Начиная с 1940-х годов Чумаков был организатором многочисленных научных экспедиций в районы Сибири, Дальнего Востока, Крыма, и другие районы Советского Союза для изучения вспышек новых инфекционных заболеваний. Среди вирусов открытых и исследованных Чумаковым находятся вирусы Омской геморрагической лихорадки (), Кемеровской геморрагической лихорадки, Геморрагической лихорадки с почечным синдромом (), Крымской геморрагической лихорадки и многих других. С 1950 года Чумаков был директором Института вирусологии имени Д. И. Ивановского.
В 1955 году он организовал новый институт по изучению полиомиелита с целью разработки профилактических вакцин против этой болезни. Чумаков работал в тесном сотрудничестве с американскими учёными Джонасом Солком и Альбертом Сэйбином. В 1958—1959 годах совместно со своей женой и соратником М. К. Ворошиловой, а также другими сотрудниками, он организовал первое в мире производство и клинические испытания Живой полиомиелитной вакцины () (ЖПВ), изготовленной из аттенуированных штаммов Сэйбина. Это сделало Советский Союз первой страной, в которой началось массовое применение этой высокоэффективной вакцины, которая через несколько лет практически ликвидировала полиомиелит в стране.
За цикл работ по полиомиелиту в 1963 году Чумаков совместно с Анатолием Александровичем Смородинцевым был удостоен Ленинской премии. Вакцина, производимая в институте Чумакова, экспортировалась в более чем 60 стран мира, и помогла ликвидировать большие вспышки полиомиелита в Восточной Европе и Японии. Успех клинических испытаний ЖПВ в Советском Союзе явился критическим фактором для начала применения вакцины на её родине в Соединенных Штатах, а также во всем мире. Эта вакцина стала основным инструментом используемым в глобальной кампании по искоренению полиомиелита (). Чумаков также создал ряд других медицинских и ветеринарных вакцин. Совместно со своими сотрудниками им были разработаны и внедрены убитая вакцина против клещевого энцефалита, вируса чумы плотоядных (), используемой для защиты пушных зверей, и многие другие. Чумаков опубликовал более 960 научных статей и книг, является автором многочисленных патентов.
После его смерти основанный им институт был переименован и теперь называется Институт полиомиелита и вирусных энцефалитов имени М. П. Чумакова Российской академии медицинских наук. В его честь был назван астероид (5465) Чумаков открытый Л. Г. Карачкиной в 1986 году.
Чумаков был лауреатом почётной докторской степени Honoris Causa Академии Леопольдина в Германии, почётным членом Венгерской академии наук. Он был также почётным членом многочисленных медицинских обществ и зарубежных Академий.