Михаил Васильевич Авдеев родился 15 сентября 1913 года в селе Городецк Могилёвской губернии в семье крестьянина. Жил и учился в Ленинграде.
В июле 1932 года был призван в ряды РККА. Учился в Ленинградской военно-теоретической школе лётчиков, затем — в Ворошиловградской военно-авиационной школе пилотов.
С 1934 года служил в Военно-воздушных силах Военно-Морского Флота в качестве пилота в 24-й авиационной эскадрилье.
В 1938 году вступил в ВКП(б).
С апреля 1938 года Михаил Авдеев служил в 1-й авиационной эскадрилье ВВС Черноморского флота, где командовал звеном, а с апреля 1940 года работал начальником штаба эскадрильи. С августа 1940 года служил в 32-м истребительном авиаполку ВВС Черноморского флота командиром звена, а с февраля 1941 года — заместителем командира эскадрильи.
С июня 1941 года принимал участие в боях Великой Отечественной войны. Всю войну провоевал в 8-м истребительном авиаполку, которому в апреле 1942 года одним из первых полков в ВВС было вручено гвардейское знамя и был переименован в 6-й гвардейский истребительный авиационный полк. Воевал заместителем командира эскадрильи, а с января 1942 года командовал эскадрильей.
К июню 1942 года Михаил Авдеев сделал более трёхсот боевых вылетов, в 63 воздушных боях сбил 9 самолетов противника, а также нанёс значительный урон войскам противника штурмовыми ударами.
Указом № 858 Президиума Верховного Совета СССР от 14 июня 1942 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии капитану Авдееву Михаилу Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В июле 1942 года был назначен на должность заместителя командира полка, с марта 1943 года — и. о. помощника командира полка по лётной подготовке и воздушному бою. С апреля 1943 по ноябрь 1944 года командовал 6-м гвардейским Севастопольским дважды Краснознамённым истребительным авиационным полком. Принимал участие в обороне Одессы, Севастополя, Кавказа, в сражениях за Новороссийск и освобождении Таманского полуострова, в Крымской, Одесской, Ясско-Кишиневской операциях. За время войны Миихаил Авдеев совершил более пятисот боевых вылетов, провёл свыше 90 воздушных боев, сбив лично 12 самолётов противника и 6 в группе.
В 1945 году закончил академические курсы офицерского состава ВВС и ПВО при Военно-морской академии имени К. Е. Ворошилова. Испытывал многие типы реактивных самолётов.
С мая 1945 по март 1947 года служил командиром 6-й истребительной авиационной дивизии, с апреля 1949 по апрель 1950 года — командиром 92-й смешанной авиационной дивизии, а с апреля 1950 по май 1951 года — командиром 601-й штурмовой авиационной дивизии.
С мая 1951 по ноябрь 1953 года Михаил Авдеев работал заместителем начальника по летной подготовке Высших офицерских лётно-тактических курсов, с ноября 1953 по март 1956 года — помощником начальника управления ВВС 8-го ВМФ, с марта 1956 по сентябрь 1958 года — командиром 9-го истребительного авиационного корпуса, с сентября по ноябрь 1958 года — 1-м заместителем командующего 42-й воздушной армией, с ноябре 1958 по апрель 1960 года — заместителем начальника авиации Бакинского округа ПВО, с июля 1960 по август 1961 года — начальником авиации 8-й отдельной армии ПВО и с декабря 1961 по март 1964 года — заместителем командующего ВВС Северо-Кавказского военного округа — начальником отдела боевой подготовки и высших учебных заведений.
В марте 1964 года генерал-майор авиации Михаил Авдеев ушёл в отставку. Жил в Москве, где и умер 22 июня 1979 года. Похоронен на Кунцевском кладбище (участок 9-3).
В 1967 году издал мемуары под названием " У самого Чёрного моря ". Они повествуют о героической службе советских летчиков в период войны, начиная с обороны Одессы и Севастополя, и заканчивая освобождением стран Восточной Европы. Мемуары вышли в трех частях.
В дополнении игры "Ил-2 Штурмовик: Забытые Сражения" создана кампания от его имени. Время и место событий: Севастополь, 22.06.1941 - 04.05.1942.