Отец математика Александра, композитора Сергея и лингвиста Бориса.
Происходил из дворян. Родился 30 сентября (12 октября) 1820(18201012). Начальное образование получил в 1-й Казанской гимназии. Высшее на математическом факультете Казанского университета, окончил который в 1839 году со званием кандидата и с серебряной медалью.
Сразу по окончании учёбы в 1839 году, был командирован в Петербург для приёма астрономических инструментов, изготовленных в Мюнхене для Казанской обсерватории.
По возвращении в Казань он состоял преподавателем математики во 2-й Казанской гимназии, а в 1840 году был назначен на только что учреждённую при обсерватории Казанского университета должность астронома-наблюдателя. В этой должности Ляпунов принял участие, вместе с Н. И. Лобачевским и К. Х. Кнорром, в снаряжении экспедиции для наблюдения полного солнечного затмения 26 июня 1842 года в Пензе. В этом же году, когда пожар повредил многие инструменты и в том числе новый экваториал, Ляпунову было поручено отправить их для починки в Пулковскую обсерваторию, где он оставался до 1845 года, то-есть до исправления инструментов.
За время пребывания в Пулкове Ляпунов занимался астрономией под руководством лучших астрономов того времени и был приглашён участвовать в хронометрической экспедиции для определения разности долгот между Пулковым и Альтоной и в хронометрической экспедиции для определения географических пунктов России.
По возвращении в Казань Ляпунов продолжал свои занятия по астрономии, в частности наблюдал на меридианном (венском) круге и на рефракторе.
В 1847 году Ляпунов снова был командирован в Пулково для принятия и доставления в Казань меридианного круга Репсольда.
С 1847 и по 1851 года Ляпунов занимался наблюдениями над определением мест звёзд туманности Ориона; эта работа становится ему в особую заслугу, так как наблюдения эти производятся только зимою, при низких температурах.
В 1850 году Ляпунов был назначен заведующим обсерваторией Казанского университета и руководителем студентов в практических занятиях астрономией.
С 1852 года и по 1854 год он наблюдал звёзды зоны от +20° до +24°, относя положения звёзд к более ярким, определяемым в Пулковской обсерватории. Работа эта осталась неизданной. Недоразумения, возникшие между профессором астрономии М. А. Ковальским и Ляпуновым привели к отставке последнего в 1855 году, когда он был избран членом-корреспондентом университета.
Дальнейшая деятельность Ляпунова чисто педагогическая. С 1856 года по 1864 год он занимает место директора Демидовского лицея в Ярославле и училищ Ярославской губернии.
Выйдя, вследствие расстроенного здоровья, в отставку, Ляпунов поселился в своём имении в Нижегородской губернии, где и скончался 20 ноября (2 декабря) 1868 от сердечного приступа.
Труды Ляпунова: