Мойше Пинчевский родился в бессарабском еврейском местечке Теленешты (теперь райцентр Теленештского района Молдовы) в 1894 году. Учился в хедере, ешиве в Одессе. С 1913 года — в Аргентине, сначала чернорабочим в Буэнос-Айресе, затем учителем в колонии еврейских гаучо, вместе с Абой Клигером скитался по стране.
Начал публиковать стихи в местной еврейской прессе в 1913 году, первый сборник «Цвит» (Цветение) вышел в Буэнос-Айресе в 1918 году; издал книгу рассказов в 1920 году. Публиковал стихотворения, рассказы, критические статьи. Вернулся в Европу в 1920 году, жил в Германии, Бельгии, Румынии (в том числе на родине в Бессарабии).
В 1926 году перебрался через Днестр, по которому проходила государственная граница СССР, и поселился в Москве, а с 1928 года — в Харькове.
В годы жизни в Советском Союзе опубликовал 13 книг (в том числе 3 детских), 12 пьес, множество публикаций в периодической печати. В 1929 году выходит поэма «Бесарабие» (Бессарабия), за ней следуют сборники «Фир Поэмэс» (Четыре поэмы, 1930), «Фар Киндэр» (Для детей, 1930), «Лидэр Фун Тог» (Стихи дня, 1932), «Гит Дэм Фир?анг» (Дайте занавес, 1932), «Ундзэрэ Киндэр Лидэр» (Стихи наших детей, 1933), «Фейгэлэ Ун Ракэлэ» (Птичка и рачок, 1935), «Дос Лэбм Ун Дэр Тойт Фун Вильям Свен» (Жизнь и смерть Вильяма Свена, 1935), «Дэр Баштан» (Бахча, 1935), «Эльдорадо» (1936), «Юрэ» (Юра, 1936), «Фун Фрилинг Биз Фрилинг» (От весны к весне, 1938), «Ди Гликлэхэ Вос ?обм Дэрлэбт» (Счастливчики, которые дожили, 1938), «Дос Ленин-Блимл» (Цветок Ленина, 1940), «Геклибэнэ Лидэр» (Избранные стихотворения, 1940).
Пьесы Пинчевского «Гедэктэ Кортн» (Битые карты, 1930), «Гит Дэм Фир?анг» (Занавес!, 1931), «Коля» (1937) и другие ставились ведущими еврейскими театрами страны, а также в переводах на русском, украинском, казахском и чешском языках. Автор либретто детского балета «Аистёнок», поставленного в Большом театре в 1935 году; пьеса «Аист» ставилась Еврейским детским театром в Киеве в конце 30-х годов (с Соней Лейман в роли негритёнка Круирука) и Киевским Государственным Еврейским театром (ГОСЕТ) в Черновцах после войны. Другая приключенческая пьеса Пинчевского «Эльдорадо» (1936) также шла на сцене киевского Еврейского детского театра (с Соней Лейман же в роли искательницы приключений Эльзы) — единственного детского театра на идише в СССР. Спектаклем по пьесе «Их Лэб» (Я живу, 1945) 10 марта 1945 года открылся первый послевоенный сезон переведённого в Черновцы Киевского ГОСЕТа. Произведения переводились на русский, украинский, казахский, немецкий, чешский, испанский языки. Член Союза Писателей СССР с 1934 года.
В 1938 году Мойше Пинчевский был арестован по обвинению в шпионаже. В 1939 году, после освобождения, поселился в Киеве.
В 1946 году вместе с поэтом Давидом Гофштейном подвергся резкой критике на московском заседании Еврейской Секции Союза Писателей СССР, собранном в связи с постановлением партии о журналах «Звезда» и «Ленинград». В отчётном письме руководства Еврейской Секции А. А. Жданову, Гофштейн (за поэму «Пенициллин») и Пинчевский (за пьесу «Я живу») критиковались за националистические мотивы, пессимизм, отсутствие идеологического содержания и упадочничество. 24 июня 1951 года Пинчевский был повторно арестован и осуждён на десять лет исправительно-трудовых лагерей строгого режима. Умер вскоре после освобождения в 1955 году.
Посмертные сборники избранных произведений вышли на русском языке отдельными книгами («Аистёнок», 1959 и «Дойна», 1960) в Москве, а также на испанском языке в Буэнос-Айресе (2003). Композиция «Басарабие» (Бессарабия, дойна) на слова Пинчевского в исполнении скрипача Ицхака Перлмана и клезмер-группы Brave Old World была выпущена на компакт-диске в 1995 году (Angel Records, США), с тех пор записывалась различными клезмерскими коллективами. Архивы писателя с многочисленными неопубликованными рукописями и машинописями были переданы внуками писателя Украинскому Институту Иудаики в Киеве.