Родился 29 марта 1920 г. в семье профессора-патолога Военно-медицинской академии (ВМА) в Петрограде. Отец Аничкова — крупный учёный, академик АН и АМН СССР, президент АМН СССР (1946—1953) генерал-лейтенант медицинской службы Аничков, Николай Николаевич, открывший значение холестерина при атеросклерозе. Как и отец, Милий закончил Военно-медицинскую академию (1939-43). Сразу после этого, ещё во время войны, он служил врачом-хирургом эвакогоспиталя № 1170 Ленинградского фронта. Войну закончил в чине майора медицинской службы, с боевыми наградами. После окончания адъюнктуры в ВМА (1945-48) в 1948 г. защитил кандидатскую диссертацию, в тот же период в течение нескольких месяцев стажировался в клинике известного хирурга проф. Крафоорда (Clarence Crafoord) в Стокгольме, находясь там в командировке. В 1958 г. защитил докторскую диссертацию, затем стал старшим преподавателем и профессором кафедры факультетской хирургии № 2 в ВМА (начальник : акад. АМН СССР генерал-лейтенант м/с П. А. Куприянов).
В 1965-70 гг. работал главным хирургом Южной группы войск в Будапеште, а в 1970-75 гг. — главным хирургом Московского военного округа и в 1975-89 гг. заведующим отделом сосудистой хирургии Института хирургии им. А. В. Вишневского в Москве. В 1980 г. по возрасту уволился из рядов Советской Армии. Будучи с 1986 г. больным тяжёлой болезнью, он до 1989 г. трудился в должности заведующего организационно-методическим отделом института. Скончался 13 января 1991 г. Аничков — автор более 200 научных работ, в том числе 8 монографий и одного атласа. Основные его работы посвящены диагностике и хирургическому лечению заболеваний органов груди и брюшной полости, аорты, магистральных сосудов. Аничков также перевёл с немецкого языка и редактировал руководство проф. И. Литтмана «Брюшная хирургия», которое быстро завоевало популярность у отечественных хирургов. Всего им подготовлено 12 докторов и 25 кандидатов наук.
Аничков был награждён орденами Красной Звезды, Знак почёта, За службу Родине в Вооружённых силах, знаком Отличник здравоохранения и 19 медалями, в том числе иностранными. Неоднократно выезжал за границу в командировки и в составе туристских групп : Швеция, США, Германия, Чехословакия, Венгрия и др.
Милий был дважды женат. В первом браке (жена Аничкова, урожд. Карпова, Зоя Яковлевна, род. в 1920 г.) имел сына (Аничков, Николай Мильевич) (род. в 1941 г., впоследствии член-корреспондент РАМН, засл. деятель науки РФ, профессор и зав. кафедрой патологической анатомии СПбГМА им. И. И. Мечникова). Во втором браке (жена Аничкова, урожд. Матвейчук Любовь Александровна, 1941—1990) имел дочь Татьяну Мильевну (род. в 1966 г., впоследствии инженер). У МНА имеется один внук — Андрей Николаевич (род. в 1963 г., бизнесмен) и два правнука Иван Андреевич (род. в 1996 г.) и Софья Андреевна (род. в 1999 г.).
Среди внеслужебных увлечений Аничкова основное место занимала охота на водоплавающую и боровую дичь, а также на пушного зверя. Он был отличным и разносторонним спортсменом, неоднократным призёром городских и межведомственных соревнований по боксу (первый спортивный разряд в полусредней весовой категории), лёгкой атлетике и прыжкам в воду (второй спортивный разряд).