Милован Якшич провёл большую часть своей карьеры в белградском клубе «БАСК». В сезоне 1934—1935 гг. он несколько месяцев играл за пражскую «Славию», а заканчивал карьеру в клубе «Любляна».
За сборную Якшич сыграл 9 матчей, дебютировав 13 апреля 1930 в товарищеском матче против сборной Болгарии в Белграде (югославы одержали победу — 6:1) и закончив выступления за сборную товарищеским матчем со сборной Чехословакии в Праге в сентябре 1934. В промежутке между этими играми он принял участие в первом чемпионате мира по футболу, дойдя с командой до полуфинала. На этом турнире Якшич проявил себя как высококлассный голкипер с хорошей реакцией и прыгучестью. Уверенная и надёжная игра Якшича, во многом обеспечившая югославам победу в первой игре над бразильцами и выход в полуфинал, была высоко оценена уругвайскими зрителями, от которых он получил прозвище «El Gran Milovan» (Великий Милован).
Итого: 9 матчей / 21 пропущенный гол; 4 победы, 1 ничья, 4 поражения.
После завершения футбольной карьеры Якшич не ушёл из спорта. Сначала он стал президентом федерации футбольных тренеров Югославии (в период с 1950 по 1953 гг.), а позже — техническим директором «Црвены Звезды».
В 1953 году во время поездки в Александрию Якшич внезапно скончался от сердечного приступа.