Александр Миндиашвили родился 29 марта 1988 года в городе Горьком (ныне — Нижний Новгород). В семилетнем возрасте он начал заниматься музыкой в Нижегородской хоровой капелле мальчиков, через два года поступил в Детскую школу искусств № 9, в класс преподавателя В. В. Пичурина. В 2002 году Миндиашвили перешёл в класс профессора Г. С. Афанасьева. В 2002 году Александр Миндиашвили стал дипломантом III Межрегионального конкурса юных скрипачей. В 2003 и 2005 гг. скрипач стал лауреатом Всероссийского фестиваля-конкурса камерных ансамблей в Сызрани. В 2005 году А. Миндиашвили поступил в Нижегородскую консерваторию, в класс профессора Г. С. Афанасьева. В 2006 году скрипач стал лауреатом Межрегионального конкурса и был удостоен Президентской премии. С 2008 года студент Московской государственной консерватории (класс профессора М. Л. Яшвили).
Александр Миндиашвили — стипендиат губернатора Нижегородской области, фонда «Новые имена». Он неоднократно играл с Академическим симфоническим оркестром Нижегородской филармонии, выступал с сольными концертами в Большом зале консерватории. В 2007 году Миндиашвили успешно гастролировал в Санкт-Петербургe с исполнением Первого концерта для скрипки с оркестром Н. Паганини. 22 марта 2008 года Александр Миндиашвили выступил на сцене Нижегородского Кремлевского концертного зала в рамках абонемента «Пять из десяти». Скрипач в дуэте с дирижёром Ренатом Жиганшиным исполнил произведения Н. Паганини (концерт № 1 для скрипки с оркестром, «Кампанелла» для скрипки с оркестром).