Играл за югославские команды «Будучност» (Подгорица), «Црвена Звезда», голландские «Валвейк» и «Росендал», за команды из Индонезии, Кипра, Японии. Сыграл один матч за молодёжную сборную Югославии. Обладатель Кубка Югославии в составе «Црвены Звезды».
С 2000 года работает тренером. В 2007 году покинул клуб «Будучност», который при нём провёл 27-матчевую беспроигрышную серию, из-за того что руководство команды вмешивалось в тренерскую работу. Перед сезоном 2008 года подписал контракт с российским клубом «Амкар» (Пермь), добился с этой командой четвёртого места в Премьер-лиге. По одной из версий покинул пермский клуб, потому что посчитал, что его заслуги в «Амкаре» не были признаны. Также существуют версии, что причиной расставания Божовича с «Амкаром» могли быть непростые взаимоотношения с являвшимся тогда президентом «Амкара» Валерием Чупраковым, а также то, что в «Москве» Божовичу предложили существенно большую зарплату, чем мог платить «Амкар».
В декабре 2008 стал тренером ФК «Москва». Являлся главным тренером ФК "Москва" в течение одного сезона. В 2009 году его команда заняла 6 место, что было воспринято как очень хороший результат. После окончания чемпионата стало известно о серьёзных финансовых проблемах ФК "Москва". В итоге проблемы решены не были, в начале 2010 года «Москва» потеряла профессиональный статус, и Божович расторг контракт с клубом.
27 апреля 2010 года назначен главным тренером московского «Динамо». Сезон 2010 года "Динамо" завершило на 7 месте. Руководство "Динамо" рассчитывало на более высокое место, но дало Божовичу шанс в следующем сезоне. В подтверждение того, что руководство не полностью довольно работой Божовича, 5 ноября 2010 года появились слухи об интересе от «Црвены Звезды», которую он мечтает возглавить. Однако Божович остался в "Динамо" и готовил команду к сезону 2011/12 годов. В новом сезоне "Динамо" играло также ниже ожиданий своего руководства и располагалось в середине турнирной таблицы. 20 апреля 2011 года после матча 1/4 финала Кубка России 2010/11 против «Ростова», окончившегося поражением московской команды со счётом 1:2, Божович подал в отставку с поста главного тренера, которую руководство «Динамо» удовлетворило 21 апреля.. С 28 сентября 2011 года вновь является главным тренером «Амкара».