Профессор географического факультета МГУ (с 1925). Ученик Д. Н. Анучина.
Брат библиографа Б. С. Боднарского (1874—1968).
Родился в селе Сверщево Холмского уезда Люблинской губернии (позже Республика Польша)
Окончил духовную семинарию. Работал помощником бухгалтера и контролёром в банковской конторе в Варшаве.
В 1900 году выехал за границу, слушал лекции по естественным наукам в Парижском и Берлинском университетах. В 1906 поступил в Московский университет, который окончил в 1910, после чего был оставлен для подготовки к профессорскому званию. С 1912 преподавал в Московском университете.
После Октябрьской революции, в 1918 успешно сдал экзамены на магистра в Московском университете и получил право преподавания в вузах Советской России. Читал также курс географии в Военной академии имени М. В. Фрунзе, в вузах Москвы, Иванова, Воронежа и др.
С 1925 года — профессор географического факультета МГУ.
В 1935 (по другим сведениям 1936) ему присвоена учёная степень доктора географических наук.
После Великой Отечественной войны преподавал также в Воронежском университете и Могилёвском педагогическом институте.
Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.
Научные работы посвящены истории географии. Одним из первых начал изучать географические труды М. В. Ломоносова, исследовал ряд древнерусских географических сочинений, атласов и карт.
Основные труды Боднарского освещают историю исследования Северного морского пути и историю русского землеведения.
Принимал участие в создании Большого советского атласа мира, составил «Словарь географических названий» (1954).