Окончил историко-филологический факультет Даугавпилсского педагогического института (1964 год), преподавал русский язык и литературу в рижских школах, работал барменом в рижском гриль-баре «Таллин».
В 1982 году был рукоположён во диакона, а затем — во священника к Свято-Ильинскому храму села Усть-Сыны Пермской области. В 1983 году переведён в Ригу и назначен настоятелем рижского Спасо-Преображенского храма. В 1984 году назначен благочинным Валмиерского и Мадонского округов.
С 1986 года член правления Латвийского отделения Советского фонда культуры. В 1988 году стал членом епархиального совета. С 1989 года был редактором «Вестника Рижско-Латвийской епархии» и ответственным за издание молитвослова на русском и латышском языках. В том же году заочно окончил Московскую духовную семинарию.
10 июля 1989 года митрополитом Рижским и Латвийским Леонидом (Поляковым) пострижен в монашество с именем Александр и на следующий день возведен в сан архимандрита.
В связи с преклонным возрастом митрополита Рижского и Латвийского Леонида (Полякова) по его ходатайству 6 июля 1989 года постановлением Святейшего Патриарха Московского и всея Руси и Священного Синода определено архимандриту Александру (Кудряшову) быть епископом Даугавпилсским, викарием Рижской епархии.
23 июля 1989 года в московском Богоявленском соборе хиротонисан во епископа Даугавпилсского, викария Рижской епархии.
Епископ Александр жил в Риге, занимался делами Рижской епархии.
9 сентября 1990 года, после кончины митрополита Леонида, епископ Александр стал временно управляющим Рижской и Латвийской кафедрой.
27 октября 1990 года назначен епископом Рижским и всей Латвии.
C 1997 года ректор Рижской духовной семинарии. 25 февраля 1994 года возведён в архиепископы, 25 февраля 2002 года — в сан митрополита.
С 27 июля 2009 года член Межсоборного присутствия Русской Православной Церкви.