Служил в ведомстве финансов при Третьей республике, а затем при режиме Виши; в 1943 бежал из Франции в Алжир и присоединился к заграничному Сопротивлению — сперва комитету генерала Анри Жиро, а затем к Сражающейся Франции генерала де Голля. После войны служил послом Франции в Египте, при НАТО, в США и в ФРГ.
После прихода де Голля к власти (в кабинетах Мишеля Дебре и Жоржа Помпиду) — министр иностранных дел (1958—1968), затем недолго был министром финансов. Назначен на пост премьера Шарлем де Голлем после конфликта того с Помпиду и отставки последнего. Именно Кув де Мюрвилю де Голль сообщил в ночь на 28 апреля 1969 о своей отставке. Кув де Мюрвиль продолжал оставаться премьером весь переходный период вплоть до вступления Помпиду в должность 20 июня 1969, когда его преемником в особняке Матиньон стал Жак Шабан-Дельмас.
До 1986 был депутатом от Парижа, затем членом Сената Франции, в 1995 ушёл на пенсию.
28 апреля 1969 — Жан-Марсель Жанненей наследовал Капитану как и. о. министра юстиции.