Можаев Алексей Васильевич родился 5 октября 1918 года в деревне Вторая Сосновка Саратовской губернии в семье школьных учителей.
В 1933—1936 годах Можаев учился в пензенском художественно-педагогическом училище у Н. Ф. Петрова, И. С. Горюшкина-Сорокопудова. В 1936 по вызову И. И. Бродского приехал в Ленинград и успешно сдал вступительные экзамены в Ленинградский институт живописи, скульптуры и архитектуры) на живописный факультет. Занимался у Михаила Бернштейна, Александра Любимова, Исаака Бродского, Генриха Павловского.
В 1941—1942 годах Можаев работает в Саратове в «Окнах ТАСС». В 1943 возвращается к учёбе, занимается в мастерских Александра Осмеркина и Бориса Иогансона. В 1946 оканчивает ЛИЖСА имени И. Е. Рапина) по мастерской Бориса Иогансона. Дипломная картина — «В родной семье». В этом же году Можаева принимают в члены Ленинградского Союза советских художников и товарищество художников Ленизо.
Первое участие Алексея Можаева в выставке относится к 1936 году. С конца 1940-х он уже постоянный экспонент выставок ленинградских художников. Писал портреты, пейзажи, жанровые и тематические композиции. Работал в технике масляной живописи, рисунка и автолитографии. Талантливый рисовальщик. Персональные выставки в Ленинграде (1985, 1989) и Санкт-Петербурге (2008, 2010).
Ведущий жанр в творчестве Алексея Можаева — живописный портрет. Развитие шло от академической манеры, основанной на строгом объективизме и типизации, к усилению выразительности в передаче индивидуальных характеристик и утончению колорита. Живопись строится на звучных светотеневых контрастах, искусной передаче пленэра и тональных отношений. В дальнейшем усиливается декоративность колорита и обобщенность рисунка. В 1989—1992 годах работы художника с успехом были представлены на выставках и аукционах русской живописи L' Ecole de Leningrad во Франции
Алексей Можаев свыше 30 лет посвятил педагогической работе в Средней художественной школе (ныне Художественный лицей имени Б. В. Иогансона) при ленинградском институте живописи, скульптуры и архитектуры имени И. Е. Рапина и художественном училище имени В. Серова.
Алексей Васильевич Можаев скончался 23 января 1994 года в Санкт-Петербурге на семьдесят шестом году жизни. Его произведения находятся в музеях и частных собраниях в России, Франции, США, Великобритании, Японии, Италии и других странах.