Мстислав Михайлович Запашный родился 16 мая 1938 года в Ленинграде.
Во время войны Мстислав Запашный жил в блокадном Ленинграде. Воспитывала Мстислава, его братьев Игоря и Вальтера и сестру Анну бабушка Анна Макаровна, потому что мать не успела вернуться с гастролей, когда город уже был в окружении.
После Великой Отечественной войны семья Мстислава Запашного переехала в Поволжье.
В 1946 году в Саратове у Мстислава и Вальтера состоялся дебют на сцене, но в 1947 году во время гастролей по Дальнему Востоку номер Мстислава и Вальтера решили расформировать. Однако после выступления перед комиссией в Московском цирке номер братьев решили оставить.
Когда в 1949 году Вальтера призвали в Советскую Армию, одиннадцатилетний Мстислав последовал за братом и получил статус сына полка, после чего братья начали служить в ансамбле песни и пляски Одесского военного округа.
В 1954 году братья Запашные создали номер «Акробаты-вольтижёры», в котором выполняли уникальные трюки, которые не повторил пока никто. За этот номер на VI Всемирном фестивале молодежи и студентов в Москве братьям вручили четыре золотые медали.
В 1964 году Мстислав Запашный сделал новый номер «Акробаты-вольтижёры на лошадях», в котором акробаты-вольтижёры выполняли трюки на лошадях. Этот номер, по сути, создавший новый жанр в цирке, во время гастролей во Франции и Японии был удостоен высших мировых призов.
Окончил ГИТИС, режиссёрский факультет (1971).
В 1977 году Мстислав Запашный создал единственный в мире спектакль, в котором слоны и тигры оказались в одной клетке. Аттракцион «Слоны и тигры» был удостоен Государственной премии Российской Федерации в области литературы и искусства в 1996 году.
В 1991 году Мстислав Запашный поставил героико-исторический цирковой спектакль-пантомиму «Спартак», который по своему масштабу постановки не имеет аналогов в мире.
Мстислав Запашный является также режиссёром, постановщиком и исполнителем главных ролей в воздушно-феерическом аттракционе «К звёздам» (1970 год); в аттракционах: «Союз — Аполлон» (1974 год), «Шар смелости», «Воздушный полёт», «Канатоходцы»; в тематических цирковых спектаклях: «На арене — москвичи» (1965 год), «Русская зима» (1967—1968 годы), «В космический век» (1970 год), «Весне навстречу» (1971 год), «Мы — артисты цирковые» (1976 год), «Ярмарка чудес» (1983 год), «С чего начинается Родина» (1987 год), «Наш русский цирк» (1997 год).
С 1991 года Мстислав Запашный является вице-президентом Всемирной ассоциации цирковых профессиональных школ и постоянным членом Комиссии при Президенте Российской Федерации по Государственным премиям в области литературы и искусства.
С 1992 по 2003 год Мстислав Запашный являлся художественным руководителем и директором Сочинского государственного цирка, не прерывая артистической деятельности.
С 1992 по декабрь 2009 года Мстислав Запашный был генеральным директором Росгосцирка. Причиной увольнения с поста генерального директора стали финансовые и юридические нарушения компании. Министр культуры Александр Авдеев по этому поводу сказал, что Мстислав Запашный на этом посту не справлялся со своими обязанностями.
25 декабря 2009 года исполняющим обязанности руководителя Росгосцирка назначен Александр Калмыков — заместитель генерального директора Росгосцирка. C 20 января 2010 года А. Калмыков возглавил компанию.
Мстислав Запашный принадлежит к знаменитой цирковой династии цирковых артистов, которая берёт своё начало в 1882 году.
Отец Мстислава, Михаил Запашный пришёл работать в цирк «с улицы», а мать Мстислава, Лидия Запашная была цирковой артисткой, дочерью знаменитого клоуна и эксцентрика Карла Томпсона.