Михай Либ родился 20 февраля 1844 г. в семье сельского чиновника в городе Мункаче, тогда находившемся на территории Австро-Венгрии (ныне Мукачево, Закарпатская область, Украина). Первичные уроки живописи Михаю преподал бродячий художник Элек Самоши. Затем Михай поехал в Будапешт и там заручился покровительством известного художника Антала Лигети и получил стипендию, позволившую учиться за границей. В 1865 году отправился в Вену, где в течение года учился в Академии художеств у Карла Раля. Затем ещё около года занимался в Мюнхене, ещё год в Дюссельдорфе. В этот период он побывал также в Париже, где познакомился с новейшими достижениями французской живописи. В качестве псевдонима художник выбрал название своего родного города.
В 1869 году Мункачи написал картину «Камера смертника», которая была показана на Парижском салоне в 1870 году, получила золотую медаль и принесла автору известность. Вскоре Мункачи переселился в Париж и долгое время работал там.
В 1890-х годах здоровье художника пошатнулось — он страдал от душевного расстройства и от сифилиса. Мункачи скончался 1 мая 1900 года в психиатрической лечебнице в Энденихе (около Бонна).
Обширная коллекция работ Мункачи ныне находится в Венгерской национальной галерее в Будапеште.