Мустафа Агабек оглы Топчибашев родился 5 августа 1895 года (по старому стилю) в селе Гейгюмбет неподалеку от Эривани (нынешнего Еревана).
В 1919 году окончил медицинский факультет Киевского университета. Вернувшись в Баку, работал в городской больнице. В 1926 году поехал в научную командировку в Германию. В 1930 году защитил докторскую диссертацию, стал профессором и возглавил кафедру госпитальной хирургии Азербайджанского медицинского института имени Н. Нариманова.
В 1941—1945 годах М. Топчибашев — главный хирург эвакогоспиталей Народного комиссариата здравоохранения Азербайджанской ССР. В эти годы он спас множество человеческих жизней в эвакогоспиталях Баку — одного из главных тыловых городов на территории СССР.
С 1945 по 1948 годы М. Топчибашев — директор Института экспериментальной медицины Академии наук Азербайджанской ССР.
В 1950 году был избран почётным членом Всесоюзного общества хирургов. В том же году избирается членом Международной ассоциации хирургов.
С 1951 по 1957 годы М. Топчибашев — вице-президент Академии наук Азербайджанской ССР.
В 1960 году был избран академиком Академии медицинских наук СССР. Дважды избирался председателем Верховного Совета Азербайджанской ССР (1953—1955, 1967—1971).
Академик М. Топчибашев умер 21 ноября 1981 года.
Топчибашев был женат на азербайджанской художнице Рейхан Топчибашевой (девичья фамилия — Ахундова), уроженке Кубы. У них родилось трое детей: сын Ибрагим и дочери-близнецы Земфира и Эльмира. Сын Ибрагим, дочь Земфира и внук Джейхун также получили медицинское образование, став врачами.