Натан Эльштейн родился в 1929 году в Кишинёве. В 1951 году окончил Черновицкий медицинский институт (в котором выступал аккордеонистом институтского джаз-оркестра) и был направлен на работу в Эстонию. В 1962—1968 годах — главный терапевт Таллина, в 1968—1991 годах — главный терапевт Министерства здравоохранения Эстонии. Одновременно в 1967—1996 годах заведовал отделением гастроэнтерологии Института экспериментальной и клинической медицины в Таллине, с 1996 года — консультант института.
В 1982—1993 годах — научный директор регионального Центра Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ) в Эстонии. В 1970—1995 годах — председатель Эстонского научного общества терапевтов. Редактор общего отдела «Большой медицинской энциклопедии» (3-е издание), член редакционных советов журналов «Терапевтический архив» (Москва) и «Гастроэнтерология» (Душанбе).
Публиковался с 1955 года. Автор научных работ по внутренним и инфекционным болезням, гастроэнтерологии, деонтологии, медицинской этике, ятрогении, истории медицины, в том числе многократно переиздававшихся монографий «Диалог о медицине», «Медицина и время» и «Ошибки в гастроэнтерологической практике».