Назели Авдалян начала заниматься спортом в 1994 году. Её первым увлечением была акробатика. С 2004 года она также стала заниматься тяжёлой атлетикой, постепенно сосредоточившись на этом виде спорта. В 2006 году впервые стала чемпионкой Армении по тяжёлой атлетике и вошла в состав национальной сборной этой страны, приняла участие в чемпионате мира в Санто-Доминго, где заняла седьмое место. В 2007 году стала серебряным призёром чемпионата Европы в Страсбурге, а в 2008 году - победительницей чемпионата Европы в Линьяно. Несмотря на быстрый прогресс и победу на чемпионате Европы тренерский штаб сборной Армении не включил её в состав участников Олимпийских игр в Пекине.
В 2009 году Назели Авдалян стала серебряным призёром чемпионата Европы в Бухаресте, а затем победительницей чемпионата мира в Кояне. Звание чемпионки мира она завоевала в борьбе с действующей олимпийской чемпионкой Лю Чуньхун и действующей чемпионкой Европы и мира Оксаной Сливенко. Эта золотая медаль чемпионата мира по тяжёлой атлетике стала первой для Армении за 18 лет независимости этой страны. В декабре 2009 года президент Армении Серж Саркисян подписал указ о награждении Назели Авдалян медалью «За заслуги перед отечеством» второй степени, а федерация спортивных журналистов Армении признала её лучшей спортсменкой Армении 2009 года.