Родился 16 октября 1904 года в г. Бежице (ныне в черте г. Брянска).
В 1919 году, после шестого класса общеобразовательной школы, начал работать делопроизводителем на Харьковском паровозостроительном заводе. Позже работал копировщиком, чертежником и конструктором, где участвовал в создании первых гусеничных тракторов Коммунар.
В 1928 вернулся со службы в Красной Армии, где служил в авиабригаде авиационным техником-мотористом. В 1929—1931 гг. учился заочно в Московском механико-электротехническом институте имени М. В. Ломоносова (после реорганизации в 1930 году — Московский автотракторный институт имени М. В. Ломоносова, ныне Московский государственный технический университет «Московский автомеханический институт»). В конце 1930-х годов участвовал в разработке танков А-20 и А-32 — прототипов серийного танка Т-34.
Все годы Великой Отечественной войны — главный конструктор харьковского завода № 183 им. Коминтерна, эвакуированного в октябре 1941 в Нижний Тагил.
После освобождения Харькова вернулся в город.
С ноября 1951 года — главный конструктор Харьковского КБ машиностроения, в 1966—1976 годах — его начальник. Под его руководством разработаны танки Т-64 (1963), Т-64А (1966).
С июня 1976 года — консультант Харьковского КБ машиностроения и член Научно-технического Совета Министерства машиностроения СССР.
Депутат Верховного Совета СССР 5-го созыва. Заслуженный машиностроитель УССР. Член Коммунистической партии — 1943. Генерал-майор-инженер — 1945. Доктор технических наук — 1972.
Жил в городе Харькове (Украина). Умер 14 июня 1979 года. Похоронен на кладбище № 2 в Харькове.
В честь Александра Морозова названы:
В Брянске у ДК Брянского машиностроительного завода установлен бюст Александра Морозова (открыт 8 мая 1982 года).