Родился 28 декабря 1918 года в деревне Беляевка ныне Ухоловского района Рязанской области. Русский.
С 1934 по 1939 год работал в Сталиногорске на Сталиногорском химкомбинате лаборантом, затем слесарем. В РККА с октября 1939 года.
На фронтах Великой Отечественной войны танкист Н. А. Присягин с июня 1941 года. Воевал на Северо-Западном, Калининском и 1-м Украинском фронтах. Член ВКП(б) с августа 1942 года. В сентябре 1942 года был легко ранен.
В 1944 году окончил Саратовское высшее командно-инженерное училище.
Отличился при штурме Берлина. 23 апреля 1945 года танковая рота лейтенанта Н. А. Присягина ворвалась в пригород Берлина Лихтерфельде и, подавив стремительной атакой огневые средства противника, обеспечила успешное продвижение пехоты к рубежу по каналу Тельтов. А 26 апреля, в уличных боях в районе Штеглиц, Н. А. Присягин провёл свою штурмовую группу через противотанковые препятствия, несмотря на наличие в этом районе опорных пунктов и хорошо организованной системы огня. По оценке командира полка гвардии подполковника Громадского, «Присягин, лично ведя разведку и правильно оценивая обстановку, принимал правильные решения боевых задач.»
27 июня 1945 года командир 3-й танковой роты 229-го танкового полка 70-й механизированной бригады 9-го механизированного корпуса 3-й гвардейской танковой армии 1-го Украинского фронта лейтенант Н. А. Присягин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Из наградного листа: «В уличном бою за город Берлин тов. Присягин лично уничтожил 3 танка, 2 самоходных орудия, раздавил 6 полевых орудий, истребил до 150 солдат и офицеров, с группой бойцов взял в плен 65 солдат и офицеров противника.»
После войны остался в армии. Окончил академию бронетанковых войск. Майор. После увольнения в запас жил и работал в Новомосковске начальником отдела кадров Домостроительного комбината.
30 декабря 1973 года вместе с Героем Советского Союза Стрижковым М. П. и полными кавалерами ордена Славы Федоновым А. Т. и Комовым Ф. А. принимал участие в открытии монумента «Вечная Слава» на улице Московская города Новомосковска.
Умер 6 декабря 1979 года, похоронен в Новомосковске.
Именем Н. А. Присягина названа улица Новомосковска, а на доме, где он жил, установлена мемориальная доска. Имя Н. А. Присягина увековечено на аллее Героев (ул. Московская) и на стенде Мемориала павшим в Великой Отечественной войне в городе Новомосковске.
Улица Присягина в Новомосковске.
Дом, в котором жил Н. А. Присягин.