Николай родился в Симферополе 20 ноября (2 декабря) 1880 года. В 1904 году закончил Страсбургский университет (доктор физико-математических наук Страсбургского университета), затем там и работал: до 1914 года — ассистентом у Карла Брауна, позже приват-доцентом. В Страсбурге Николай Дмитриевич познакомился с Л. И. Мандельштамом, ставшим ему научным соратником и другом. С 1914 года — консультант Русского общества беспроволочного телеграфирования и телефонирования (РОБТиТ), где до 1916 года провёл работы по направленной радиотелеграфии, опыты по радиосвязи с подводными лодками и телеуправлению, руководил разработкой первых образцов отечественных радиоламп.
Участвовал в основании, а затем и работал в Одесском политехническом институте (1918—1922 гг.), где с 1922 года был профессором, был консультантом в тресте «Электросвязь». Затем работал в центральной радиолаборатории в Ленинграде (позднее Электрофизический институт), где в 1923—1935 годах совместно Л. И. Мандельштамом руководил научным отделом: ими тогда были проведены основополагающие работы по нелинейным и параметрическим колебаниям; изучены и открыты резонанс n-го рода, комбинационные и параметрические резонансы, разработан метод параметрического возбуждения электрических колебаний, также при помощи предложенного ими интерференционного метода они детально исследовали распространение радиоволн над земной поверхностью и осуществили точное измерение их скорости. Работая в то время в Ленинграде был профессором Ленинградского политехнического института.
Затем работал в Физическом институте им. П. Н. Лебедева АН СССР (с 1935 года руководитель отдела колебаний) и с 1938 года в Энергетическом институте АН СССР в Москве. С 1944 года являлся председателем Всесоюзного научного совета по радиофизике и радиотехнике при АН СССР. В разное время был также председателем Физического общества, президентом Физико-химического общества при Ленинградском университете, председателем Полярной комиссии по исследованию радиосвязи в Арктике. Работа Николая Дмитриевича «Об измерении расстояния от Земли до Луны с помощью электромагнитных волн» (1946) считалась теоретическими основами радиолокационной астрономии в СССР.
Николай Дмитриевич Папалекси является автором научного открытия «Явление радиоизлучения солнечной короны», которое внесено в Государственный реестр научных открытий СССР под № 81 с приоритетом от 28 октября 1947 года в следующей формулировке: «Экспериментально установлено неизвестное ранее явление, заключающееся в том, что источником излучаемых Солнцем радиоволн во внешнее пространство является солнечная корона, причём наиболее интенсивно излучающие области короны соответствуют оптически активным областям фотосферы Солнца».
Был женат на Виллер Кларе Эфраимовне. Умер 3 февраля 1947 года в Москве.