Родился в семье крестьянина. В 1927 году вместе с родителями переехал в Москву. Окончил 7 классов, поступил в авиационный техникум. В Красной армии с 1940 года, в ВКП (б) — с 1943.
С июня 1943 года — в действующей армии. Командовал звеном самолетов Ил-2. Сражался под Белгородом и Донбассом, освобождал вместе с советскими войсками Апостолово, Николаев, Одессу, землю Западной Украины, участвовал в Висло-Одерской и Берлинской операциях. За все время войны Алексашкин совершил 174 боевых вылета, дослужившись до звания старшего лейтенента.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство гвардии капитану Алексашкину Николаю Федоровичу было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4831).
После войны Алексашкин остался в рядах ВВС СССР. Окончил Военно-воздушную академию в 1954 году. С 1962 года — полковник запаса. Работал начальником отдела НИИ. Оставшуюся жизнь прожил в Москве, где и умер.