Родился в начале ноября 1923 года в селе Лух, ныне поселок городского типа Ивановской области, в семье служащего. Русский. В 1939 году, после окончания 7 классов Лухской школы, он поступил во Владимирский энергомеханический техникум.
Призван в армию в феврале 1942 года и направлен в военное училище. В 1943 году окончил Новосибирское военное пехотное училище и был направлен на фронт командиром взвода.
В составе 956-го стрелкового полка младший лейтенант Бобров участвовал в боях за освобождение Левобережной Украины. 1 октября 1943 года в числе первых в полку комсомолец Бобров преодолел реку Днепр юго-восточнее города Кременчуг (Полтавской области). Взвод под его командованием подавил 8 пулемётных точек, уничтожил десятки гитлеровцев, удержал позицию до подхода основных сил. 28 октября 1943 года в одном из наступательных боев по освобождению Правобережной Украины Николай Бобров погиб.
Похоронен в одном километре западнее села Чикаловка Кременчугского района Полтавской области Украины.