Николай Алексеев окончил ленинградское Хоровое училище имени М. И. Глинки, затем Ленинградскую консерваторию (1983) как хоровой дирижёр (класс Авенира Михайлова) и оперно-симфонический дирижёр (класс Мариса Янсонса).
В 1982 году был удостоен первой премии на Международном конкурсе дирижёров Фонда Герберта фон Караяна в Берлине, после чего был приглашён Юрием Темиркановым на стажировку в Мариинский театр; по словам Алексеева, участие Темирканова во многом определило его музыкальную судьбу.
В 1985—2001 годы возглавлял Симфонический оркестр Ульяновской филармонии. Одновременно в 1994—1998 годы — дирижёр Загребского филармонического оркестра.
В 1983 году, будучи студентом консерватории, был приглашён главным дирижёром ГСО ЭССР Пеэтером Лилье продирижировать гостевым концертом.
С 1995 года Алексеев начал систематически выступать с Эстонским национальным симфоническим оркестром, а с 2001 года занимает пост главного дирижёра этого коллектива (контракт заканчивается в 2010 году). Одновременно с 2000 года является одним из дирижёров Заслуженного коллектива России Академического симфонического оркестра Санкт-Петербургской филармонии (под руководством Юрия Темирканова).
В сезоне 2002/2003 годов также был главным приглашённым дирижёром Большого театра.