Родился 26 июня 1919 года в посёлке Старые Промыслы (ныне в черте города Грозный Чеченской республики) в семье рабочего. Русский. Член ВКП(б) с 1942 года. Окончил школу ФЗУ «Нефтеуч» в 1937 году. Работал в ней инструктором по производственной практике, затем в спортивном обществе «Нефтяник». Одновременно учился в Грозненском аэроклубе.
В Красной Армии с декабря 1939 года. Учился в Нахичиванской военной авиационной школе, затем в Батайской военной авиационной школе пилотов имени А. К. Серова, которую окончил в 1941 году.
На фронтах Великой Отечественной войны с сентября 1942 года. Был лётчиком и командиром звена.
Гвардии младший лейтенант Алексеев к июлю 1943 года совершил 102 боевых вылета, в воздушных боях лично сбил 15 самолётов противника и 6 — в группе.
12 июля 1943 года гвардии младший лейтенант Алексеев прикрывал с воздуха наземные войска у города Новосиль Орловской области. В бою с превосходящими силами противника сбил 2 истребителя противника. Израсходовав боекомплект, таранным ударом сбил третий и сам погиб.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство гвардии младшему лейтенанту Алексееву Николаю Михайловичу присвоено звание Героя Советского Союза посмертно.