В 1935 году стал победителем одной из первых математических олимпиад в городе Москва (24 школа Бауманского района).
С 1936 по 1941 годы учится на Механико-математическом факультете Московского Государственного Университета им. Ломоносова. После демобилизации из армии в 1945 году поступает в аспирантуру МГУ им. Ломоносова, где его руководителем, как и в студенческие годы является Александр Осипович Гельфонд.
В 1948 году защищает кандидатскую диссертацию, в 1953 году — докторскую диссертацию. С 1948 года работает в институте математики им. В. А. Стеклова АН СССР и на механико-математическом факультете МГУ. Преподаёт также в МВТУ им. Баумана, в Знергетическом институте и в Московском Педагогическом Институте.
Николай Михайлович Коробов проводил исследования в области теории чисел. Он автор 60 научных работ, в том числе двух монографий. 20 его учеников стали кандидатами наук, двое из них — докторами наук. Лауреат премии им. П. Л. Чебышёва АН СССР.