Сын Николая Андреевича Аркаса, племянник Захара Андреевича Аркаса, отец Николая Николаевича Аркаса (младшего).
Родился 26 декабря 1852 (7 января 1853) в Николаеве в семье адмирала Черноморского флота Николая Андреевича Аркаса и Софьи Аркас, урожденной Богданович.
Получил разностороннее образование в Училище правоведения в Петербурге и Одесской гимназии. Впоследствии учился на физико-математическом факультете Новороссийского университета в Одессе.
После завершения учёбы (1875—1881), по семейной традиции, служил в морском ведомстве в Николаеве.
По окончании морской службы в 1881 году занял должность мирового судьи в Херсоне.
Умер 13 марта (26 марта) 1909 в Николаеве, где и похоронен.
В свободное от службы время собирал и записывал народные мелодии, изучал историю Украины. Под воздействием своего учителя Петра Нищинского начал самостоятельно овладевать музыкальными знаниями, композиторскими навыками и писать музыку.
Творческое наследие композитора составляют соло-пения, вокальные ансамбли и обработки народных песен (около 80). Самым значительным произведением Николая Аркаса, который принёс ему признание, стала опера «Катерина» (1890) по поэме Тараса Шевченко. Это произведение стало первой украинской лирической народно-бытовой оперой. «Катерина» с большим успехом была поставлена труппой Марка Кропивницкого в Москве в 1899 году, а впоследствии — в Минске, Вильнюсе, Киеве.
Много времени отдавал культурно-общественной работе. Стал основателем и председателем общества «Просвiта» (укр.- просвещение) в Николаеве, на собственные средства открыл народную школу с обучением на украинском языке.
В 1908 году в Санкт-Петербурге под редакцией украинского литератора Василия Доманицкого была издана книга Николая Аркаса "Історія України-Русі" на украинском языке (кулишовка).