Родился 18 мая 1925 года в селе Глазок Мичуринского района Тамбовской области в семье крестьянина. Русский.
Окончил 4 класса. В 1937 году с семьей переехал в Ивановскую область. Работал объездчиком в совхозе «Заря» в Фурмановском районе. В первые дни Великой Отечественной войны отец и четверо старших братьев ушли на фронт.
В феврале 1943 года в армию призвали и Николая. После трехмесячной учёбы в полковой артиллерийской школе был направлен на фронт и назначен командиром орудия в 386-й истребительный противотанковый полк, входивший в состав 3-й гвардейской танковой армии. Отличился в боях при форсировании реки Днепр.
В октябре 1943 года Шерстов в составе полка форсировал реку в районе деревни Козинцы, принимал участие в боях на Букринском плацдарме. Только при отражении одной из контратак на поле боя перед позициями полка осталось 27 горящих немецких машин. Несколько танков и бронетранспортеров в этом бою были поражены метким огнем орудия старшего сержанта Шерстова.
В начале ноября полк Шерстова был переброшен на Лютежский плацдарм и участвовал в наступлении на Киев. Орудие Шерстова находилось в боевых порядках пехоты, прокладывая ей дорогу своим огнем. Через Пуща-Водицы, Святошино Николай Шерстов 5 ноября вступил в предместье столицы Украины. Продолжая наступление, части 3-й танковой армии стремительным ударом выбили противника из города Фастова.
В боях за удержание Фастова орудие Шерстова занимало огневую позицию на высоте юго-восточнее Фастова. 7 ноября 1943 года организовал отражение танковой контратаки противника. После контузии наводчика выполнял сам его обязанности. За несколько дней боев старший сержант Шерстов лично сжёг 7 танков врага. За воинскую доблесть, проявленную в этом бою, старший сержант Шерстов был представлен к геройскому званию. Член ВКП(б)/КПСС с 1945 года.
После войны Шерстов продолжал службу в армии, стал офицером. В 1953 году в звании старшего лейтенанта уволен в запас. Жил в городе Мичуринск Тамбовской области, работал инструктором горкома ДОСААФ. Позднее переехал в Москву. Работал сменным мастером на заводе «Манометр».
Умер 22 июля 1983 года. Похоронен в Москве, на Калитниковском кладбище.