Место рождения — село Армиево Шемышейского района Пензенской области РСФСР. Окончил Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарёва в 1973 году. После окончания университета и военной кафедры при нём призван на военную службу, в 1973 г..
Службу проходил в частях Главспецстроя СССР. Первая офицерская должность — заместитель командира роты по политчасти 841-го военно-строительного отряда. Продолжил службу в кадрах ВС СССР. С 1980 года — старший помощник и заместитель начальника отдела кадров военно-строительного треста. С 1981 года — старший офицер в Управлении кадров Главспецстроя СССР. С 1983 года — заместитель начальника, а с 1987 года — начальник Управления кадров Главспецстроя СССР.
С 1992 года — заместитель начальника Федерального управления специального строительства при Правительстве Российской Федерации (ФУСС России), с 1996 года — первый заместитель начальника ФУСС. В июне 1997 года на базе ФУСС была создана Федеральная служба специального строительства (ФССС России), в которой Аброськин также назначен первым заместителем директора. Однако уже в 1998 году ФССС была расформирована и Н. П. Аброськин назначен первым заместителем начальника Росспецстроя при Госстрое Российской Федерации.
С 2 марта 1999 — начальник Федерального управления специального строительства при Государственном комитете Российской Федерации по строительству, архитектуре и жилищной политике, которое в августе 1999 года было переподчинено непосредственно Правительству Российской Федерации. С 18 мая 2000 года — директор Федеральной службы специального строительства Российской Федерации, ставшей самостоятельным федеральным органом. Воинское звание генерал армии присвоено указом Президента Российской Федерации В. В. Путина 11 июня 2003 года.
Был фигурантом уголовного дела, возбужденного Главной военной прокуратурой по статье 285 Уголовного Кодекса Российской Федерации(«злоупотребление служебным положением»). Обвинялся в том, что в 1999 году незаконно отдал распоряжение о выделении двухкомнатной квартиры в Москве сыну начальника инспекции Счетной Палаты Российской Федерации, который проводил проверку подчинённого ему ведомства. Уголовное дело было прекращено по амнистии в 2000 г.. На карьере Н. П. Аброськина этот факт не отразился.
После очередной реорганизации органов специального строительства (шестой по счёту за 12 лет), с 9 апреля 2004 года — Директор Федерального агентства специального строительства. 31 декабря 2010 года Указом Президента Российской Федерации № 1652 уволен с военной службы в запас.
22 апреля 2011 года уволен с должности директора Федеральное агентство специального строительства.
Советник Министра обороны Российской Федерации.
Депутат Государственной Думы России 6-го созыва по спискам партии «Единая Россия» (№ 3 в региональной группе по Удмуртской Республике).