Николай Саввич происходил из молдавского дворянского рода второй половины XVII в., с первой четверти XVIII в. состоявшего на российской службе. 7 июля 1849 г. род внесли во 2-ю часть родословной книги Харьковской губернии.
Своих детей не было.
Приемной дочери Татьяне в 1883 г. разрешили принять фамилию и отчество приемного отца и пользоваться правами его состояния, но без права на наследство. Родной брат, возможно, Сергей Саввич,коллежский асессор с 1857 г., в должности церемониймейстера (по данным на 1858 г.), и состоял при Ее Императорском Высочестве Государыне Великой Княгини Елене Павловне.
Двоюродный брат - А.А.Абаза
6 мая 1859 года Абаза с отличием окончил курс медицинского факультета Харьковского университета со степенью лекаря и по защите диссертации при медицинском факультете Московского университета получил степень доктора медицины (14 июня 1862 года).
11 июля 1862 года Абаза стал сверхштатным чиновником при медицинском департаменте Министерства внутренних дел с чином коллежского асессора.
14 апреля 1863 года он был переведён в Кавказскую армию «медиком для командировок» с прикомандированием к Тифлисскому военному госпиталю. В кампании 1864 года против горцев в апреле — мае Абаза участвовал в разработке дороги вверх по долине реки Мзымта к Ахчиису и наступлении отряда на соединение с войсками Дахновского, Мало-Лабинского и Перхувского отрядов, в перестрелке при движении к Аибге, в передовых цепях отряда, в его возвращении на позиции с урочища Пегач в Аштырх и Адлер. 31 декабря Абаза был прикомандирован к 1-му военно-сухопутному госпиталю в Петербурге. 30 апреля 1865 года его назначили сверхштатным чиновником при медицинском департаменте с откомандированием в распоряжение орловского губернатора.
11 июля 1866 года Абазу произвели в надворные советники. 29 ноября его командировали в распоряжение петербургского губернатора. 9 марта 1867 года его причислили к Министерству внутренних дел с отчислением от медицинского департамента, оставив в распоряжении петербургского губернатора. 13 мая Абаза был назначен старшим советником Петербургского губернского правления. С 6 июня по 11 июля и со 2 ноября по 5 декабря 1867 года он исполнял должность вице-губернатора. 12 июля 1868 года Абаза стал коллежским советником и был назначен тамбовским вице-губернатором. В 1868—1871 годах с перерывами он исполнял должность губернатора. 30 августа 1870 года его назначили статским советником (за отличие), а 19 ноября 1871 года — действительным статским советником и херсонским губернатором. 20 января 1874 года Абаза был назначен рязанским губернатором, а с 3 декабря 1876 года ещё и главноуполномоченным Общества попечения о раненых и больных воинах (за труды по которому 1 января 1878 года он был пожалован гофмейстером) и заведующим санитарным делом Дунайской армии.
С 15 октября 1878 года Абаза вновь управлял Рязанской губернией. 4 апреля 1880 года он был уволен и назначен начальником Главного управления по делам печати, а с 5 апреля — ещё и сенатором. В роли заведующего делами печати Абаза держался тех воззрений на прессу, которые проводил и граф М. Т. Лорис-Меликов. При нём возникло предположение произвести видоизменения в цензурном уставе. С выходом в отставку графа Лорис-Меликова удалился от занимаемого им поста и вообще от административной деятельности и Абаза.
Со 2 мая 1880 года он был членом Верховной распорядительной комиссии. 7 апреля 1881 года он уволился по состоянию здоровью из Главного управления, с оставлением сенатором. 4 ноября Абазу назначили в 4-й департамент Сената, 27 ноября 1882 года — в 1-й департамент, 14 апреля 1883 года — в общее собрание и присутствие 1-го департамента, образованного в Москве на время коронационных торжеств. 31 декабря 1886 года он был назначен в общее собрание 1-го, 2-го департаментов и департамента герольдии, а 15 ноября 1889 года назначен в 1-й департамент. В мае 1896 года Абаза был на коронационных торжествах в Москве, а 1 января 1900 года он стал действительным тайным советником.
С 1 января 1890 года Абаза стал членом Государственного совета. 13 января 1890 года его назначили в Департамент законов, 1 января 1900 года — в Департамент промышленности, наук и торговли. С 11 декабря 1891 года Абаза был председателем Комиссии для обсуждения вопроса о мерах к поддержанию дворянского землевладения, а с 1895 до 1897 год — председателем Особой комиссии для разработки законопроектов по колонизации и оживлению Черноморского побережья.
Абаза написал сочинение «Об эпителии воздухоносных лёгочных пузырьков» (М., 1862), но как писатель заявил о себе отчётом о деятельности своей в роли главноуполномоченного Красного Креста. Отчёт появился под заглавием «Красный Крест в тылу действующей армии в 1877—1878 г.: Отчёт главноуполномоченного Общества попечения о раненых и больных воинах» (СПб., 1880—1882. Т. 1—2). Книга, встреченная похвалами критики, представляла собою капитальный вклад в военно-санитарную литературу. Помимо строго научно распределённого по таблицам и диаграммам обширного статистического материала, рисующего положение эвакуационного дела во всех его мельчайших деталях и дающего в будущем возможность организовать врачебную помощь жертвам войны не на кабинетных соображениях, а на уроках живой действительности, помимо этих сухих, хотя по существу очень красноречивых, фактических данных, книга Абазы давала живо написанную картину санитарных порядков или вернее непорядков войны. Автор никого в отдельности не винил в этих печальных непорядках. Он полагал, что в значительной степени они обусловлены роковым сцеплением обстоятельств кампании. Но большую долю вины он, вместе с тем, возлагал на общий дух бюрократизма и чиновничества. По мнению автора, «Санитарное дело есть дело специальное, требующее глубоких познаний и опыта. Только специальные люди и могут, и должны, по нашему мнению, направлять его. Врачам должна принадлежать выдающаяся роль в ведении санитарного дела, так как никто, кроме их, не может лучше знать многоразличных нужд раненых и больных. Это — аксиома. Передавая санитарное дело в руки врачей, этим нисколько не устраняется подчинение действий их главному руководству высшей администрации, которая тогда только и может действовать безошибочно, когда специальное дело будет в специальных руках».