Родился 17 декабря 1914 года в с. Александpовка Области Войска Донского (ныне Азовского pайона Ростовской области). Русский. Окончил Новочеркасский техникум механизации сельского хозяйства. Работал автомехаником МТС в колхозе.
Окончил Белокалитвенскую военную пехотную школу. На фронте Великой Отечественной войны с сентября 1941 года. Член ВКП(б) с 1941 года. Воевал под Москвой, был награжден медалью «За отвагу». Был ранен и отправлен в госпиталь. Потом вернулся и воевал на Северном Кавказе.
В сентябре 1943 года танковые части получали новые боевые машины. Прибыл туда и старший лейтенант Клименко. Николай Сергеевич среди множества машин выбрал танк с надписью «Ейский колхозник». Комбригу свой выбор объяснил так: этот танк от соседей по земле. Боевая машина в составе 138-го отдельного танкового батальона 49-й армии Западного фронта и 2-й гвардейской танковой бригады 33-й армии Белорусского фронта участвовала в боях за освобождение Белоруссии. В одном из боев экипаж Клименко уничтожил три вражеских танка. Под Дыманово «Ейский колхозник» был подбит в тяжелом бою. Из экипажа уцелел лишь Н. С. Клименко.
Танковый батальон 51-й гвардейской танковой бригады (3-я гвардейская танковая армия, 1-й Украинский фронт) под командованием гвардии майора Н. С. Клименко 16 апреля 1945 года в ходе Берлинской операции в числе первых форсировал р. Нейсе в районе г. Форст (Германия). Стремительно преследуя противника, с ходу ворвался в Берлин. В сложных условиях уличного боя добился тесного взаимодействия танков с пехотой, расчистил ей путь к центру города. 25 апреля 1945 года был тяжело ранен, но оставался в строю до выполнения боевой задачи.
С декабря 1945 года — в отставке. Жил в родном селе. Работал председателем и заместителем председателя колхоза, инженером по технике безопасности.
Умер 20 мая 2004 года и похоронен на родине в селе Александpовка.