Николай Алексеевич родился под Белгородом, в семье оседлых цыган-сэрвов. Часть его детства пришлась на Великую Отечественную войну. Во время неё Николай потерял многих родных. В частности, отца мальчика расстреляли у него на глазах в 1942 году.
После войны семья поселилась в цыганском колхозе в Воронежской области. Именно тогда Николай услышал о существовании цыганского театра в Москве и стал мечтать о работе в нём.
В 1951 году Николая приняли в театр «Ромэн». Одарённый подросток привлёк внимание ведущих мастеров театра. Конечно, никаких поблажек ему не давали: он начинал, как большинство, артистом вспомогательного состава. Но ведущие актёры театра, такие как Ляля Чёрная, М. В. Скворцова, С. И. Андреева, М. И. Черкасова, С. Ф. Шишков, И. И. Ром-Лебедев, В. Ф. Бизев, Н. Г. Нарожный, С. С. Золотарёв, И. В. Хрусталёв, охотно делились с ним секретами мастерства. В эти годы Николай работает над собой, много читает, учится.
Впервые Николаю доверили главную роль уже в 1952 году, в неполные 18 лет, когда театр выезжал со спектаклем «Четыре жениха» по пьесе И. Хрусталева в Загорск (ныне — Сергиев Посад). Ему довелось играть роль Лексы, заменяя заболевшего актёра Сергея Фёдоровича Шишкова. Роль Лексы он потом играл долго, а позднее, по мере взросления, сыграл в этом спектакле ещё и роль Бади.
После «Четырёх женихов» на Николая Алексеевича обратили внимание, как на готового актёра. Его начали вводить в спектакли текущего репертуара. Всего на данный момент он сыграл свыше 60 ролей в родном театре, снялся в ряде фильмов, в том числе в картинах «В дождь и солнце», «Мой остров синий», «Свадьба в Малиновке» и других.
В 1977 году Николай Алексеевич стал режиссёром театра «Ромэн». Для этого он окончил Высшие режиссёрские курсы под руководством Народного артиста СССР Андрея Александровича Гончарова.
Заботясь о завтрашнем дне цыганского театра, он создал на базе Музыкального училища имени Гнесиных специальную студию для подготовки профессиональных кадров для театра «Ромэн».
4 декабря 1998 года на Площади звёзд в Москве заложена именная звезда Николая Сличенко.
6 февраля 2012 года был официально зарегистрирован как доверенное лицо кандидата в Президенты РФ и действующего премьер-министра Владимира Путина.
Имя Николая Сличенко присвоено одной из звёзд в созвездии Тельца.